- 基本不等式
- 共6247题
已知实数x，y满足xy+1=4x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为______．
正确答案
27
解析
解：∵xy+1=4x+y，且x＞1，
∴x=
∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（3x+y）
=1+2（
≥1+2（7+6）=27．
∴（x+1）（y+2）取最小值为27．
故答案为：27．
设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=
正确答案
P≤Q
解析
解：由题意P2=ab+cd+2
Q2=ab+cd+
所以P2≤Q2，即P≤Q
故答案为P≤Q
实数x，y满足1+
正确答案
解析
解：∵1+
∴1+
∴1+
∴1+
∴1+
∵
1≤1+cos2（2x+3y-1）≤2
故1+
此时x-y+1=1，即x=y
2x+3y-1=kπ，即5x-1=kπ，x=
xy=x2=
当k=0时，xy取得最小值
故答案为：
已知0＜a＜1，0＜b＜1，且log2a•log2b=16，则log2（ab）的最大值为______．．
正确答案
-8
解析
解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，
∴log2a＜0，log2b＜0
∴-log2（ab）=-log2a+（-log2b）≥2
∴log2（ab）≤-8
∴log2（ab）的最大值为-8
故答案为：-8
某公司2009年9月投资14 400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其他费用20元．为保证有一定的利润，公司决定该纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．根据市场调研的结果，设该纪念品的销售单价为x（元），年销售量为u（万件），平均每件纪念品的利润为y（元）．
（1）求年销售量u关于销售单价x的函数关系式；
（2）该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价x为多少时，平均每件纪念品的利润y最大？
正确答案
解：（1）当150＜x≤200（x∈N*）时，u（x）=150-（x-150）=300-x，此时u（200）=100；
当200＜x≤250（x∈N*）时，u（x）=u（200）-1.2（x-200）=-1.2x+340，
所以u（x）=
（2）当150＜x≤200（x∈N*）时，u（x）=300-x，
∴y=x-20-
∵300-x＞0，∴（300-x）+
∴y≤40，当且仅当x=180时，等号成立，即当x=180时，平均每件纪念品的利润y最大．
解析
解：（1）当150＜x≤200（x∈N*）时，u（x）=150-（x-150）=300-x，此时u（200）=100；
当200＜x≤250（x∈N*）时，u（x）=u（200）-1.2（x-200）=-1.2x+340，
所以u（x）=
（2）当150＜x≤200（x∈N*）时，u（x）=300-x，
∴y=x-20-
∵300-x＞0，∴（300-x）+
∴y≤40，当且仅当x=180时，等号成立，即当x=180时，平均每件纪念品的利润y最大．
已知直角三角形ABC的三边之和为2，求△ABC的面积的最大值．
正确答案
解：设直角边长为a，b，则斜边长为
∵直角三角形ABC的三边之和为2，
∴a+b+
∴2≥2
∴
∴ab≤6-4
∴S=
∴△ABC的面积的最大值为3-2
解析
解：设直角边长为a，b，则斜边长为
∵直角三角形ABC的三边之和为2，
∴a+b+
∴2≥2
∴
∴ab≤6-4
∴S=
∴△ABC的面积的最大值为3-2
已知a＞0，b＞0，则
正确答案
4
解析
解：
∵2
∴
故答案为：4
已知函数
正确答案
解析
解：函数
则 y=t+
当 0＜t≤1时，函数y为单调减函数，故 t=1时，函数y取得最小值等于2，此时，y≥2．
根据奇函数 的性质可得，-1≤t＜0 时，y≤-2，故函数y的值域为 （-∞，-2]∪[2，+∞），
故选C．
已知两条直线l1：y=m和l2：y=
正确答案
解：由题意得xA=
所以a=|xA-xC|=|
b=|xB-xD|=|2m-
即
因为
≥4-
当且仅当
所以，
解析
解：由题意得xA=
所以a=|xA-xC|=|
b=|xB-xD|=|2m-
即
因为
≥4-
当且仅当
所以，
某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为1000元．
（1）若建筑楼房为x层，该楼房的综合费用为y万元（综合费用为建筑费用与购地费用之和），求y=f（x）的表达式．
（2）为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
正确答案
解：（1）由题意知，建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：920元．
建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元）
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）
建筑第x层楼房建筑费用为：92+（x-1）×2=2x+90（万元）
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y=f（x）=x2+91x+100（x≥1，x∈Z）
（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：
g（x）=
当且仅当10x=
所以，学校应把楼层建成10层．此时平均综合费用为每平方米1110元．
解析
解：（1）由题意知，建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：920元．
建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元）
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）
建筑第x层楼房建筑费用为：92+（x-1）×2=2x+90（万元）
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y=f（x）=x2+91x+100（x≥1，x∈Z）
（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：
g（x）=
当且仅当10x=
所以，学校应把楼层建成10层．此时平均综合费用为每平方米1110元．
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