- 基本不等式
- 共6247题
若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为______．
正确答案
72
解析
解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，
由题意可知a2+b2+c2=62=36，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=72；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大；
故答案为：72．
已知a＞b＞0，求a2+
正确答案
解：∵b（a-b）≤（
∴a2+
当且仅当
解析
解：∵b（a-b）≤（
∴a2+
当且仅当
不等式x2+2x＜
正确答案
（-4，2）
解析
解：不等式x2+2x＜
即为x2+2x＜
由
当且仅当
则有x2+2x＜8，解得-4＜x＜2．
故答案为：（-4，2）．
设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，且对任意，a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三边长，则M的最小值为（ ）
A
B2
C3
D2
正确答案
解析
解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c
∴ab＞M2
由题意可得，
∴
∵a2+b2≥2ab＞2c
∴c2＞2c即c＞2
∴ab＞2
∴M2≥2，M≥
故答案为：
已知向量
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（
正确答案
解：（Ⅰ）∵
∴f（x）=
=1+sin2x-cos2x，
=1+
∴当2x-
函数取得最大值1+
（Ⅱ）由（I）知f（
∴A-
即A=
∵A是三角形的一个内角，
∴A=
∵a=2，∴b2+c2=4，
∴S△ABC=
∴△ABC面积的最大值为1．
解析
解：（Ⅰ）∵
∴f（x）=
=1+sin2x-cos2x，
=1+
∴当2x-
函数取得最大值1+
（Ⅱ）由（I）知f（
∴A-
即A=
∵A是三角形的一个内角，
∴A=
∵a=2，∴b2+c2=4，
∴S△ABC=
∴△ABC面积的最大值为1．
长方体的对角线长是4，有一条棱长为1，那么该长方体的最大体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设长方体的另两条棱为：a，b
根据对角线为4得到a2+b2+1=16∴a2+b2=15
∴
当且仅当a=b时等号成立．
长方体的最大体积为
故选A．
若曲线x2+y2+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上，则
正确答案
4
解析
解：曲线x2+y2+2x-4y+1=0表示的是以（-1，2）为圆心的圆，
故由曲线x2+y2+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上可得，
直线2ax-by+2=0（a，b∈R+）过点（-1，2），
则-2a-2b+2=0，
即a+b=1（a，b∈R+），
则
（当且仅当a=b=
故答案为：4．
已知函数
正确答案
6
解析
解：依题意可知3+a=7
∴a=4
∴f（x）=x+
故答案为：6
若不等式4x-a•2x+1+3＞0对任意的x∈R均成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，
解析
解：令t=2x＞0，可得 t2-2at+3＞0在（0，+∞）上恒成立，
即 a＜
利用基本不等式可得
故a＜
故答案为 （-∞，
若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______．
正确答案
[9，+∞）
解析
解：∵a+b≥2
∴ab-2
∴
∴ab≥9
故答案为：[9，+∞）
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