- 基本不等式
- 共6247题
已知x1•x2•x3…x2004=1，且x1，x2，x3，…，x2004都是正数，则（1+x1）•（1+x2）•…（1+x2004）的最小值为______．
正确答案
21004
解析
解：∵x1，x2，x3，…，x2004，
∴（1+x1）•（1+x2）•…（1+x2004）≥2
故答案为：22004
若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，其中a，b∈R，ab≠0，则
正确答案
解析
解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y-2b）2=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有 
∴
当且仅当
∴
故答案为：
要建造一个容积为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，怎样设计水池的长与宽，才能使水池的总造价最低？
正确答案
解：设出池底的两边长分别为x、y米，
∴6xy=1200，xy=200，
侧面积：6（2x+2y）=12（x+y），底面积：xy=200，
根据题意得出总造价为：Z=95×12（x+y）+135×xy，
∵x+y
∴Z=95×12（x+y）+135×xy≥95×
当长与宽都为10
解析
解：设出池底的两边长分别为x、y米，
∴6xy=1200，xy=200，
侧面积：6（2x+2y）=12（x+y），底面积：xy=200，
根据题意得出总造价为：Z=95×12（x+y）+135×xy，
∵x+y
∴Z=95×12（x+y）+135×xy≥95×
当长与宽都为10
若a＞0，b＞0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为（ ）
正确答案
解析
解：由a＞0，b＞0，lga+lgb=lg（a+b），
则lg（ab）=lg（a+b），
即有ab=a+b，
即
则a+b=（a+b）（
≥2+2
当且仅当a=b=2时，取得等号．
则a+b的最小值为4．
故选C．
（文科）袋中共有红球和白球10个，其中红球个数不少于3个，现从袋中任意取出3个球，问袋中有多少个红球时，使取得的球全为同色球的概率最小？
正确答案
解：设x，y分别为红球和白球的个数，则有x+y=10，x，y∈N+，x≥3
从10个球中任取3个球，全为红色的概率为
全为白色的概率为
又∵x+y=10，
∴xy≤
因此当x=5时，P最小，此时P=
解析
解：设x，y分别为红球和白球的个数，则有x+y=10，x，y∈N+，x≥3
从10个球中任取3个球，全为红色的概率为
全为白色的概率为
又∵x+y=10，
∴xy≤
因此当x=5时，P最小，此时P=
（2015秋•台山市校级期末）建造一个容积为240m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2，池底的造价为350元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？
正确答案
解：设水池的长为xm，由已知得池底的面积为
∴水池的宽为
化简得 
解得x=8或x=6（舍去）；
答：当水池的长与宽分别为8m和6m时，水池的总造价为42000元．
解析
解：设水池的长为xm，由已知得池底的面积为
∴水池的宽为
化简得
解得x=8或x=6（舍去）；
答：当水池的长与宽分别为8m和6m时，水池的总造价为42000元．
建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/米2，池底造价为2a元/米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为______，定义域为______．底边长为______m时总造价最低是______元．
正确答案
y=12a（x+
（0，+∞）
160
解析
解：设池底一边长x（m），则其邻边长为
y=12a（x+
x+
∴当底边长为
故应填：y=12a（x+
若
正确答案
16
解析
解：∵
∴x+y=（x+y）（
则x+y的最小值是16．
故答案为16
已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（8＜v≤v0），其中v0为给定的大于12km/h的常数．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？（全程燃料费=每小时的燃料费×实际行驶的时间）
正确答案
解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k（k＞0），则
当v=12时，y1=720，∴720=k•122，得k=5 3分
设全程燃料费为y，
依题意有
当
∵8＜v≤v0
∴当v°≥16时，v=16时全程燃料费最省． 9分
当v°＜16时，令
任取8＜v1＜v2≤v0，则0＜v1-8＜8，0＜v2＜8，
∴
∴
即
综合得：当v°≥16时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，当v°＜16时，当v=v0，实际船速为（v0-8）km/h时，全程燃料费最省，为
解析
解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k（k＞0），则
当v=12时，y1=720，∴720=k•122，得k=5 3分
设全程燃料费为y，
依题意有
当
∵8＜v≤v0
∴当v°≥16时，v=16时全程燃料费最省． 9分
当v°＜16时，令
任取8＜v1＜v2≤v0，则0＜v1-8＜8，0＜v2＜8，
∴
∴
即
综合得：当v°≥16时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，当v°＜16时，当v=v0，实际船速为（v0-8）km/h时，全程燃料费最省，为
某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．
正确答案
解：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得
（2）方案一：∵
∵
当且仅当
故到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利为12×7+30=114 万元．（2分）
方案二：y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102 （1分）
当x=10 时ymax=102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利为102+12=114 万元．（2分）
盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一比较合理．（1分）
解析
解：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得
（2）方案一：∵
∵
当且仅当
故到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利为12×7+30=114 万元．（2分）
方案二：y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102 （1分）
当x=10 时ymax=102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利为102+12=114 万元．（2分）
盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一比较合理．（1分）
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