- 基本不等式
- 共6247题
过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．
正确答案
3
解析
解：由题意，△AOB的周长可表示为
令tan2α=t，则周长为y=
令y′=0，可得
∵函数在区间（0，
∴函数在
∴当
∴
∴
∴cotα=3
故答案为：3
一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是______cm2．
正确答案
1200
解析
即
所以矩形的面积s=xy=（60-
=-
x=40时，S最大值为1200，
所以最大面积为12000cm2，
故答案为：1200．
某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是（ ）
正确答案
解析
解：由题意可得第n年时，保险费、路桥费、汽油费的总费用为1.5n万元，
n年的维修费总和为0.3+0.3×2+…+0.3n=
∴车辆的年平均使用费用为
=
当且仅当
故选：C
设x∈[0，1]，则函数y=x
正确答案
解析
解：由x∈[0，1]，则函数y=x
=
由于x2，1-x2∈[0，1]，则x2（1-x2）≤
当且仅当x2=1-x2，即x=
即有y≤
当x=
故答案为：
已知正实数a，b，c满足a2+b2=c2，求（1+
正确答案
解：∵a，b，c是正实数且a2+b2=c2，
∴
令
（1+
=1+
=1+
令1+sin2a=t2，（1＜t≤
故原式=1+
=
故当t=
解析
解：∵a，b，c是正实数且a2+b2=c2，
∴
令
（1+
=1+
=1+
令1+sin2a=t2，（1＜t≤
故原式=1+
=
故当t=
若x，y，z是正数，且满足xyz（x+y+z）=1，则（x+y）（y+z）的最小值为 ______．
正确答案
2
解析
解：（x+y）（y+z）=xy+y2+yz+zx
=y（x+y+z）+zx≥2
故答案为：2
已知实数x，y满足y-x+1≤0，则（x+1）2+（y+1）2的最小值是（ ）
A
B
C
D2
正确答案
解析
解：满足y-x+1≤0的点在直线y-x+1=0的下方（含直线），（x+1）2+（y+1）2表示点（x，y）
与点（-1，-1）距离的平方． 故（x+1）2+（y+1）2的最小值是点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离的平方，
为 
故选A．
设a，b，c∈（0，+∞）且a+b+c=1，令x=
A[0，
B[
C[1，8）
D[8，+∞）
正确答案
解析
解析：∵x=
=
=
当且仅当a=b=c时取等号，∴x≥8．
故选D．
若不等式x2+2xy≤a（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．
正确答案
解析
解：由题意可得a≥
由x2+y2=（1-m2）x2+m2x2+y2（m＞0）
≥（1-m2）x2+2mxy，（当且仅当mx=y取得等号），
则
当1-m2=m，即m=
即有a≥
故答案为：
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
正确答案
解：（1）由题可设安全负荷为：
则翻转90°后，安全负荷为：
因为
所以，当0＜d＜a时，y1＜y2．安全负荷变大；
当0＜a＜d时，y1＞y2，安全负荷变小．
（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，
则根据垂径定理，得
∵枕木长度不变，
∴u=ad2最大时，安全负荷最大
∴
当且仅当
即取
解析
解：（1）由题可设安全负荷为：
则翻转90°后，安全负荷为：
因为
所以，当0＜d＜a时，y1＜y2．安全负荷变大；
当0＜a＜d时，y1＞y2，安全负荷变小．
（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，
则根据垂径定理，得
∵枕木长度不变，
∴u=ad2最大时，安全负荷最大
∴
当且仅当
即取
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