基本不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知x1，x2，…，x2010是正数，且x1x2…x2010=1，则（1+x1）（1+x2）…（1+x2010）的最小值是______．

正确答案

22010

解析

解：∵x1，x2，x3，…，x2010，

∴（1+x1）•（1+x2）•…（1+x2010）≥2 •2 +…+2 =22010．

故答案为：22010

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题型：单选题

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单选题

已知0＜x＜1，a，b为常数且ab＜0，则的最小值是（　　）

A（a+b）2

B（a-b）2

Ca2+b2

D|a2-b2|

正确答案

B

解析

解：（）（x+1-x）=a2+b2++≥a2+b2+2|ab|

∵ab＜0，

∴a2+b2+2|ab|=a2+b2-2ab=（a-b）2，

故最小值为（a-b）2，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

若f（x）=的最小值为2，求c的范围．

正确答案

解：令=t，则y=t+，

∵f（x）=的最小值为2，

∴0＜t≤1，

∴0＜≤1，

∴c≤1．

解析

解：令=t，则y=t+，

∵f（x）=的最小值为2，

∴0＜t≤1，

∴0＜≤1，

∴c≤1．

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题型：简答题

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简答题

某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，其中x是该厂生产这种产品的总件数．

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170-0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

正确答案

解：（1）…（2分）

由基本不等式得…（4分）

当且仅当，即x=500时，等号成立 …（5分）

∴，成本的最小值为90元． …（6分）

（2）设总利润为y元，则y=xQ（x）-xP（x）=-0.1x2+130x-12500=-0.1（x-650）2+29750…（10分）

当x=650时，ymax=29750…（11分）

答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．…（12分）

解析

解：（1）…（2分）

由基本不等式得…（4分）

当且仅当，即x=500时，等号成立 …（5分）

∴，成本的最小值为90元． …（6分）

（2）设总利润为y元，则y=xQ（x）-xP（x）=-0.1x2+130x-12500=-0.1（x-650）2+29750…（10分）

当x=650时，ymax=29750…（11分）

答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

某水库堤坝年久失修，发生了渗水现象，经测算坝面每渗水1m2的直接经济损失约为250元，当发现时已有200m2的坝面每渗水，且渗水面积以每天4m2的速度扩散，当地政府在发现的同时，立即组织民工进行抢修，假定每位民工平均每天可抢修渗水面积2m2，为此政府需支出服装补贴费每人400元，劳务费每人每天150元，所消耗的维修材料等费用每人每天150元，若安排x名民工参与抢修，抢修完成需用n天．

（1）写出n天关于x的函数关系式；

（2）应安排多少名民工参与抢修，才能使总损失最少．（总损失=渗水损失+政府支出）

正确答案

解：（1）由题意得2nx=200+4n，所以n=，x≥3，x∈N+；

（2）设总损失为y，则y=250×（200+4n）+400x+nx×（150+150）=80800+400（x-2）+

≥80800+2×20×400=96800

当且仅当400（x-2）=时，即x=22时，等号成立

∴应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最少．

解析

解：（1）由题意得2nx=200+4n，所以n=，x≥3，x∈N+；

（2）设总损失为y，则y=250×（200+4n）+400x+nx×（150+150）=80800+400（x-2）+

≥80800+2×20×400=96800

当且仅当400（x-2）=时，即x=22时，等号成立

∴应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最少．

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题型：简答题

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简答题

设对一切x，y∈R都成立，求k的最小值．

正确答案

解：由题意x，y，k∈R+，恒成立

故有x+y+2≤k2（x+y）

即k2-1≥

由于≤=1

k2-1≥1，解得k≥

则k的最小值是：．

解析

解：由题意x，y，k∈R+，恒成立

故有x+y+2≤k2（x+y）

即k2-1≥

由于≤=1

k2-1≥1，解得k≥

则k的最小值是：．

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题型：简答题

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简答题

用一边长为1米，另一边长为a米的矩形铁皮做一个无盖的长方形容器，先在四角分别截去一个的边长为x米的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成．设该容器的容积为f（x）．

（1）求f（x）的表达式，并写出它的定义域；

（2）若0＜a＜1，试判断x取何值时，容器的容积达到最大或最小，并说明理由．

正确答案

解：（1）设容器的高为xcm，容器的容积为V（x）cm3，则

V（x）=（1-2x）（a-2x）x=4x3-（2a+2）x2+ax（0＜x＜1或0＜x＜a），

（2）V′（x）=12x2-（4a+4）x+a=0，可得x=，

∵0＜a＜1，0＜x＜1

∴当0＜x＜，＜x＜1时，V′（x）＞0，当＜x＜时，V′（x）＜0，

∴当x=时，V（x）在区间（0，1）内有唯一极大值，

∴容器高x=时，容器容积V（x）最大．

解析

解：（1）设容器的高为xcm，容器的容积为V（x）cm3，则

V（x）=（1-2x）（a-2x）x=4x3-（2a+2）x2+ax（0＜x＜1或0＜x＜a），

（2）V′（x）=12x2-（4a+4）x+a=0，可得x=，

∵0＜a＜1，0＜x＜1

∴当0＜x＜，＜x＜1时，V′（x）＞0，当＜x＜时，V′（x）＜0，

∴当x=时，V（x）在区间（0，1）内有唯一极大值，

∴容器高x=时，容器容积V（x）最大．

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题型：填空题

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填空题

设x，y∈R+，且x2+y2=1，则x的最大值是______．

正确答案

解析

解：由x2+y2=1，即4x2+y2=4，

x2（1+y2）=•4x2（1+y2）≤•（）2

=•（）2=，

当且仅当4x2=1+y2=，即有x2=，y2=，取得等号．

则x的最大值为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

现在汽车是很给力的，汽车生产商对某款汽车的维修费进行电脑模拟实验，分别以汽车年数n和前n年累计维修费sn（万元）为横、纵坐标，发现点（n，sn）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上，其中图象上两点A（5，1.05），B（10，4.1）．

（1）求出累计维修费sn关于使用年数n的表达式，并求出第n年的维修费；

（2）汽车开始使用后每年需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，此时间段由产家承担维修费，保修期过后，汽车维修费有车主承担．若某人以9.18万元购买这款汽车，求年平均耗资费的最小值．（耗资费=购买费+车主承担的维修费）

正确答案

解析

解：（1）由题意，函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上两点A（5，1.05），B（10，4.1），

∴1.05=25a+5b，4.1=100a+10b

∴，b=

∵点（n，Sn）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上，

∴Sn=n

n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-，n=1时，a1=S1=也满足上式

∴第n年的维修费为an=n-；

（2）∵耗资费=购买费+车主承担的维修费

∴年平均耗资费为y==0.04n++0.01≥1.21（万元）

当且仅当n=15时取等号

∴年平均耗资费的最小值为1.21万元．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•沈阳期末）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最小值为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

解：∵x+y=1，

∴=（）（x+y）=+2=4，

当且仅当，即x=y=时取“=”，

∴的最小值为4．

故选：D．

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