基本不等式_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示：用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，假设墙有足够长．

（Ⅰ）若篱笆的总长为30m，则这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？

（Ⅱ）若菜园的面积为32m2，则这个矩形的长，宽各为多少时，篱笆的总长最短？

正确答案

解：设这个矩形的长为xm，宽为ym，篱笆的长为lm，面积为Sm2．

（Ⅰ）由题知x+2y=30，由于，

∴，，即，当且仅当x=2y时等号成立．

由

故这个矩形的长为15m，宽为7.5m时，菜园的面积最大．

（Ⅱ）条件知S=xy=32，l=x+2y．∵，当且仅当x=2y时等号成立．

由

故这个矩形的长为8m、宽为4m时，可使篱笆的总长最短．

解析

解：设这个矩形的长为xm，宽为ym，篱笆的长为lm，面积为Sm2．

（Ⅰ）由题知x+2y=30，由于，

∴，，即，当且仅当x=2y时等号成立．

由

故这个矩形的长为15m，宽为7.5m时，菜园的面积最大．

（Ⅱ）条件知S=xy=32，l=x+2y．∵，当且仅当x=2y时等号成立．

由

故这个矩形的长为8m、宽为4m时，可使篱笆的总长最短．

1

题型：填空题

|

填空题

（2015春•湖北校级期末）设正实数x，y，z满足x2-xy+4y2-z=0．则当取得最小值时，x+4y-z的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵x2-xy+4y2-z=0，

∴z=x2-xy+4y2，又x，y，z为正实数，

∴=+-1≥2-1=3（当且仅当x=2y时取“=”），

当且仅当=，即x=2y（y＞0）时取等号，

此时x+4y-z=2y+4y-（x2-xy+4y2）=6y-6y2

=-6（y-）2+≤．

∴x+4y-z的最大值为．

故答案为：

1

题型：填空题

|

填空题

已知x、y，且2x+3y=4xy+1，则2x+y的最小值为______．

正确答案

3

解析

解：∵2x+3y=4xy+1，

∴y=，

∵y=，

∴，即，

解得4x-3＞0，即x．

则2x+y=2x+=2x+=2x=，

当且仅当，

即4x-3=1，x=1，y=1时取等号．

∴2x+y的最小值为3．

故答案为：3．

1

题型：单选题

|

单选题

利用基本不等式求最值，下列运用正确的是（　　）

A

B

C已知ab≠0，

D

正确答案

D

解析

解：A不正确，因为利用基本不等式时没有出现定值．

B不正确，若B正确，当且仅当，即sin⁡2x=4，sinx=2取等号，但sinx∈（0，1），所以等号成立的条件不具备，故不能取等号．

C不正确，因为和不一定是正值，当ab＜0时，，不等式不成立．．

D．正确．因为3x＞0，所以，当且仅当，即3x=2，x=log32时取等号，满足基本不等式使用的条件．

故选D．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成，已知人行道的宽分别为4m和10m

（1）若休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，则要使公园占地面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？

（2）若公园的面积为4000平方米，要使休闲区A1B1C1D1的面积最大，公园的长和宽应如何设计？

正确答案

解：（1）设A1B1=x米，知C1B1=米

∴S=（x+20）（+8）=4160+8x+≥4160+2=5760

当且仅当8x=，即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．

（2）设AB=x，则BC=米，∴A1B1=x-20米，C1B1=-8米

∴S=（x-20）（-8）=4160-8x-≤4160+2=5760

当且仅当8x=，即x=100时取等号

∴要使休闲区A1B1C1D1的面积最大，公园的长为100米、宽为40米．

解析

解：（1）设A1B1=x米，知C1B1=米

∴S=（x+20）（+8）=4160+8x+≥4160+2=5760

当且仅当8x=，即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．

（2）设AB=x，则BC=米，∴A1B1=x-20米，C1B1=-8米

∴S=（x-20）（-8）=4160-8x-≤4160+2=5760

当且仅当8x=，即x=100时取等号

∴要使休闲区A1B1C1D1的面积最大，公园的长为100米、宽为40米．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．

（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；

（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；

（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．

正确答案

解：（1）由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）2=x2+y2，…（2分）

化简得：y=（0＜x＜1）…（3分）

（2）tan∠DCQ=1-y，tan∠BCP=1-x，…（5分）

tan（∠DCQ+∠BCP）==1 …（7分）

∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），

∴∠DCQ+∠BCP=，

∴∠PCQ=-（∠DCQ+∠BCP）=，（定值） …（8分）

（3）S=1--（1-x）-（1-y）=（x+y-xy）=• …（10分）

令t=2-x，t∈（1，2），

∴S=•（t+）-1，

∴t=时，S的最小值为-1． …（12分）

解析

解：（1）由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）2=x2+y2，…（2分）

化简得：y=（0＜x＜1）…（3分）

（2）tan∠DCQ=1-y，tan∠BCP=1-x，…（5分）

tan（∠DCQ+∠BCP）==1 …（7分）

∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），

∴∠DCQ+∠BCP=，

∴∠PCQ=-（∠DCQ+∠BCP）=，（定值） …（8分）

（3）S=1--（1-x）-（1-y）=（x+y-xy）=• …（10分）

令t=2-x，t∈（1，2），

∴S=•（t+）-1，

∴t=时，S的最小值为-1． …（12分）

1

题型：简答题

|

简答题

为保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，

（1）写出每吨的平均处理成本S与月处理量x（吨）之间的函数关系式；

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？并求出该最小值．

正确答案

解：（1）由题意可知二氧化碳每吨的处理成本为

（2）当x∈[120，144），，

∴x=120时，S取得最小值240；

当x∈[144，500]，

当且仅当，即x=400时，S有最小值200；

综上，当每月的处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．

解析

解：（1）由题意可知二氧化碳每吨的处理成本为

（2）当x∈[120，144），，

∴x=120时，S取得最小值240；

当x∈[144，500]，

当且仅当，即x=400时，S有最小值200；

综上，当每月的处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．

1

题型：单选题

|

单选题

若ab＞0且直线ax+by-2=0过点P（1，2），则的最小值为（　　）

A

B9

C5

D4

正确答案

A

解析

解：∵直线ax+by-2=0过点P（1，2），∴a+2b=2．

又ab＞0，

∴===，当且仅当b=a=时取等号．

故选：A．

1

题型：单选题

|

单选题

2x3-x2-2x+1=0的三个根分别是α，β，γ，则α+β+γ+αβγ的值为（　　）

A-1

B0

C-

D

正确答案

B

解析

解：2x3-x2-2x+1=0化为2x3-2x2+x2-2x+1=0，

∴2x2（x-1）+（x-1）2=0，

化为（x-1）（x+1）（2x-1）=0，

解得x=±1，．

∴α+β+γ+αβγ=+=0．

故选：B．

1

题型：填空题

|

填空题

已知关于x的不等式-2≤x2+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，则b+的最小值为______．

正确答案

3

解析

解：令f（x）=x2+ax+b．

∵关于x的不等式-2≤x2+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，

则当且仅当x=-，=1时满足条件．

∴=1．

∴b+=+1+1=2，当且仅当a2=2时取等号．

故答案为：2．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析