热门试卷

函数f（x）=x+sinx不是周期函数；

用反证法证明如下：

假设函数f（x）的周期函数，且其一个周期为T，（T≠0），则有f（x+T）=f（x）成立，

即x+T+sin（x+T）=x+sinx，

则T+sin（x+T）=sinx，对一切实数x均成立，

取x=0有T+sinT=0，①

取x=π有T-sinT=0，②

联立①、②，可得T=0，

此与T≠0相矛盾，所以假设不成立；

于是可知，函数f（x）=x+sinx不是周期函数．

∵函数f（x）=2x2+mx+n，f（1）=2+m+n，f（2）=8+2m+n，

f（3）=18+3m+n，故有 f（1）+f（3）-2f（2）=4．

假设|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于1，

则-1＜f（1）＜1，-1＜f（2）＜1，-1＜f（3）＜1．

∴-4＜f（1）+f（3）-2f（2）＜4．

这与f（1）+f（3）-2f（2）=4 相矛盾，故假设不成立，

即|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1．

∵f（x）图象关于原点对称

∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0

∴f(x)=

（2）∵n≥2，n∈N

∴f(n2)-n2=＜=-(n≥2)

∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-)+(-)+…+(-)＜2

（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+)n-(xn+)

=xn-1+xn-2()2+…+x()n-1

=[(xn-1+x()n-1)+(xn-2()2+x2()n-1)+…+(x()n-1+xn-1())]

≥[2•2+…+•2]=2n-2

∴[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．

解：（1）因为

所以

函数的图像在点处的切线方程；

（2）由（1）知

所以

对任意恒成立

即

对任意恒成立

令则

令，则

所以函数在上单调递增

因为

所以方程在上存在唯一实根，且满足

当

即

当

即

所以函数在上单调递减，在上单调递增

所以

所以

故整数k的最大值是3；

（3）由（2）知，是上的增函数

所以当时，

即

整理得

因为

所以

即

即

所以。