- 反证法与放缩法
- 共409题
在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=
正确答案
证明数集B={x|x=
假设x=
，n0+1＜m0+1，n0+1∈N*，m0+1∈N*，且x'＞x，
这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．
故答案为：
用反证法证明命题“a•b（a，b∈Z*）是偶数，那么a，b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是______．
正确答案
∵命题“a•b（a，b∈Z*）是偶数，那么a，b中至少有一个是偶数．”
可得题设为，“a•b（a，b∈Z*）是偶数，
∴反设的内容是 假设a，b都是奇数（a，b都不是偶数）；
故答案为：假设a，b都是奇数（a，b都不是偶数）．
用反证法证明命题“对任意a、b∈R，a2+b2≥2（a-b-1）”，正确的反设为______．
正确答案
反证法是在条件不变，利用结论的否定为条件进行推理找出矛盾
所以用反证法证明命题“对任意a、b∈R，a2+b2≥2（a-b-1）”，正确的反设是“存在a，b∈R，a2+b2＜2（a-b-1）”，
故答案为：存在a，b∈R，a2+b2＜2（a-b-1）
已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；
（2）证明{an}不可能是等比数列；
（3）若a1=-1，是否存在实数k和b使得数列{ an+kn+b}是等比数列，如存在，求出{an}的前n项和，若不存在，说明理由．
正确答案
（1）∵an+1=2an+n+1，∴a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，
∵{an}是等差数列，∴2a2=a1+a3，∴2（2a1+2）=a1+（4a1+7），∴a1=-3，a2=-4
∴d=a2-a1=-1；
（2）证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3
∴（2a1+2）2=a1（4a1+7），∴a1=-4，a2=-6，a3=-9，
∵a4=2a3+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{an}不可能是等比数列；
（3）假设存在，则有
∴
∴{an+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴an+n+2=2n，
∴an=2n-n-2
∴{an}的前n项和为
设m个不全相等的正数a1，a2，…，am（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，am的前n项和Sn（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项an（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数an（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+am2＞ma1a2am．
正确答案
（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，
从而a2009=a1d，a2008=a1d2，
由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，
解得d=3或d=-4（舍去）．
∴d=3，
又S3=3a1+3d=15．解得a1=2
从而当n≤1005时，an=a1+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列
得an=a1d2009-（n-1）=a1d2010-n（1006≤n≤2009）
因此an=
（II）由题意an2=an-12an+12（1＜n＜m），am2=am-12a12，a12=am2a22得
有①得a3=
由①，②，③得a1a2an=（a1a2an）2，
故a1a2an=1．⑤
又ar+3=
故有ar+6=
下面反证法证明：m=6k
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由⑥得am=a6k+1=a1，
而由③得am=
得a2=1，由②得am-1=
而a6=
同理若P=2，3，4，5均可得an=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数
由均值不等式得a1+a2+a3++a6=(a1+
由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，
从而a4=a5═am=1与题设矛盾），故等号不成立，
从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得
a72++am2=（a72++a122）++（a6k-52++a6k2）
=（k-1）（a12++a62）
=(k-1)(
因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++am2＞6+6（k-1）=6k=m=ma1a2a3am
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