- 反证法与放缩法
- 共409题
已知函数f（x）=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{bn}满足bn=an+3n(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}不是等比数列；
（2）令cn=
正确答案
（1）由题意可得 f（an）=n=log2an，∴an=2n，故数列{an}是等比数列．
假设数列{bn}是等比数列，bn=2n+3n，则有 b22=b1b3．
由因为 b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{bn}不是等比数列．（6分）
（2）∵cn=
∴Sn=
∴
①-②得 
=
=
∴Sn=3-
当a＞0，b＞0时，用反证法证明
正确答案
假设
则a+b＜2
∴
已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）。
（1）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；
（2）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
（3）证明[f（b）]2≤（1-λ2）[f（a）]2。
正确答案
解：（1）不妨设
可知
∴f（x）是R上的增函数
∴不存在
又∵
∴
（2）要证：
不妨设
由
则
由
即
则
由①②可得
∴
（3）因为
∴
∵
又由（2）中结论
∴
已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x），满足
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（xn）}的通项公式；
（Ⅲ）对于(II）中的数列{f（xn）}，
证明：
正确答案
解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0
得f（0）﹣f（y）=f（﹣y）
即f（y）+f（﹣y）=0
∴f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．
（2）由
∵f（xn）﹣f（﹣xn）=f
且f（x）且f（x）在（﹣1，1）上为奇函数
∴f（xn+1）=2f（xn），f（x1）=1
∴f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=2n﹣1
（3）
=
已知a＞0，函数
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0），证明：
①0＜x2≤
②若x1＜
正确答案
（1）解：求f（x）的导数：
由此得切线l的方程：
（2）证明：依题意，切线方程中令y=0，
其中
①由
∴
②当
因此
且由①，
所以
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