热门试卷

证明：假设、、为同一等差数列的三项，

则存在整数m，n满足

=+md    ①

=+nd   ②

①×n-②×m得：n-m=（n-m） 

两边平方得：3n2+5m2-2mn=2（n-m）2

左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数

所以，假设不正确．

即 、、不能为同一等差数列的三项

证明（反证法）：假设，，成等差数列，

则-=-，即=两边乘以b，得=，

又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，

∴a-b=b-c≠0．由以上两式，可知=．

两边都乘以ac，得a=c、

这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，

所以数列，，不可能成等差数列

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d≠0），则

∵a3是a1、a9的等比中项，S5=15，

∴，∴a1=d=1

∴an=n；

（Ⅱ）证明：n=1时，Tn=1＜2；

n≥2时，Tn=++…+＜1++…+=1+1-+…+-=2-＜2

综上，Tn＜2．

（1）∵数列{an}满足：a1=1，an+1=(1+4an+)(n∈N*)，

∴a2=(1+4a1+)=，

a3=(1+4a2+)=(1+4×+)=．

（2）∵bn=，∴an= ，代入 an+1=(1+4an+)(n∈N*) 得

=(1+4× + bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2bn+1=bn+3．

∴2（bn+1-3）=bn-3，∴{bn-3}是以2为首项，以为公比的等比数列，

∴bn-3=2(

1

2

)n-1，∴bn=(

1

2

)n-2+3．

（3）证明：∵已知 an===×(

1

4

)n+(

1

2

)n+，

故 f（n）=6an+1-3an =6[×(

1

4

)n+1+(

1

2

)n+1+]-3（×(

1

4

)n+(

1

2

)n+）=1- 

=（1-）（1+）．

当n≥2时，有(1+)•(1-)=1-+-=1+＞1．

∴f（1）•f（2）…•f（n）=（1-）（1+）•（1-）（1+）…（1-）（1+）

＞（1-）（1+）=+＞．

故要证的不等式 f(1)•f(2)…f(n)＞成立．