- 反证法与放缩法
- 共409题
设函数
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2）。 证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）。
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）由
f（0）=c，f′（x）=x2-ax+b，f′（0）=b
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
得f（0）=1，f′（0）=0，
故b=0，c=1。
（Ⅱ）
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（x）（-t），
化简得
即t满足的方程为
下面用反证法证明，
假设f′（x1）=f′（x2），
由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及 （x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：
由（3）得x1+x2=a，由（1）-（2）得
又
故由（4）得
此时
所以f′（x1）≠f′（x2）；
（Ⅲ）由（Ⅱ0知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，
等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程
设
则
由于a>0，故有
由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当
∴a的取值范围是
已知函数f（x）=ax-
（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=
①若a1≥3，求证：an≥n+2；
②若a1=4，试比较
正确答案
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
故
（2）①
数学归纳法证明
②
原式
原式
设函数f（x）=x-aex-1。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（3）对任意n个正整数a1，a2，…，an，记
①求证：
②求证：
正确答案
解：（1）f'（x）=
当a≤0时f'（x）>0，f（x）在R上是增函数；
当a>0时，令f'（x） =0，得x=1-lna
若x＜1-lna，则f'（x）>0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x>1-lna，则f'（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞）上是减函数
综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数；
当a>0时，f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，f（x）在区间（1-lna，+∞）上是减函数。
（2）由（1）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，
又当a>0时，f（x）在x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae-lna=-lna
令-lna≤0，得a≥1，
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）。
（3）①由（2）知：当a=1时，恒有
即
∴
②由①知：
把以上n个式子相乘得
∴
故
已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞)），数列{an}满足a1=e，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求f（a1）+f（a2）+…+f（an）；
（Ⅲ）求证：
正确答案
解：（1）
∴{an}是等比数列，
又a1=e，
∴
（2）由（1）
∴
（3）
∴f′（x）≤0，
∴f（x）递减，
于是
即
故
已知函数
（1）当t=2时，求函数f(x)的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+
am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+...+g（am）
正确答案
解：（10当t=2时，f（x）=x+
解得x>
（2）设M、N两点的横坐标分别为
∵，切线PM的方程为：
又∵切线PM过点P（1，0），∴有
即
同理，由切线PN也过点（1，0），得
由（1）、（2），可得x1，x2是方程
∴
把（*）式代入，得
因此，函数g（t）的表达式为
（3）易知g（t）在区间
∴
则
∵
∴不等式
即
∵
∴
由于m为正整数，∴
又当m=6时，存在
因此，m的最大值为6。
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