热门试卷

解：（1）fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，

∵a>0，x>0，

∴fn′（x）<0，

∴fn（x）在（0，+∞）单调递减。

（2）由上知：当x>a>0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，

∴当n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n≤nn-（n+a）n，

又∵fn+1′（x）=（n+1）[xn-（x+a）n]，

∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n-（n+1+a）n]<（n+1）[nn-（n+a）n]

=（n+1）[nn-（n+a）（n+a）n-1]

（n+1）fn′（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[nn-n（n+a）n-1]，

∵（n+a）>n，

∴fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。

解：（1）∵，

令，

∴g（x）在[0，+∞）单增，g（x）≥g（0）=0，

∴f（x）在[0，+∞）单增，所以最小值为f（0）=1；

（2）由（1）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥f（0）=1，

∴，即，

取，则，

于是

…

相加得，故得证。

解：(1)由题知f′(x)=x+a+的一个根为1，

∴f′(1)=0，

∴1+a+2=0，即a=-3；

(2)，

∴，

由f′(x)=，解得x＞2或0＜x＜1，

由f′(x)=，解得1＜x＜2，

，

∴函数f(x)的单调递增区间为、(2，e)，单调递减区间为(1，2)，

∴当时，f(x)的极大值为，

又，，

∴当时，，

∴，

即e2-6e+4≥x2-6x+4lnx，

即e2-x2+6x-6e+4≥41nx，

即(e-x)(e+x-6)+4≥4lnx，

即，

∴。

(3)由(2)可知，函数f(x)的单调递减区间为(1，2)，单调递增区间为(2，+∞)，

∴当x∈(1，+∞)时，函数f(x)在x=2处取得最小值2ln2-4，

∴，

即，

∴，

∴，

，

……

，

把上述各式相加，变形得：

，

即

，

∴对任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。

解：（1），

∵x=0是f（x）的一个极值点，

则，

∴a=0，验证知a=0符合条件；

（2），

1）若a=0时，

∴f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减；

2）若，得当a≤-1时，对x∈R恒成立，

∴f（x）在R上单调递减；

3）若-1＜a＜0时，由，

∴，

再令，可得，

∴上单调递增，

在上单调递减；

综上所述，若a≤-1时，f（x）在上单调递减；

若-1＜a＜0时，上单调递增，

在上单调递减；

若a=0时，f（x）在上单调递增，在（-∞，0）单调递减。

（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在上单调递减，

当x∈时，由，

∴，

∴

，

∴。