热门试卷

解：（Ⅰ）因为，x＞0，则，

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以函数f（x）在x=1处取得极大值，

因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，

所以；

（Ⅱ）不等式，

即为，

记，

所以，

 令，

∵x≥1，

∴，

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴，

从而g′（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，

∴，

所以k≤2。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，

即，

令x=n（n+1），

则，

所以，

，

，

………… ……

，

叠加得：

，

则，

所以。

(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域是(-1，+∞)，，

令f′(x)=0，解得x=0，

当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，

又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0。

(Ⅱ)证明：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=，

由(Ⅰ)的结论知ln(1+x)-x＜0(x＞-1，且x≠0)，

由题设0＜a＜b，得，

因此，

所以，

又，

，

综上0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。

解：(1)由及，即可求得a=2，

则；

(2)当时，，

不等式，

令，x∈(，3)，

由于，

当时，h′(x)＜0；当时，h′(x)＞0；当x∈(2，3)时，h′(x)＜0．

又，故，

于是由得，即k的最大值为；

(3)由(2)知，，

在上式中分别令x=x1，x2，x3再三式作和即得，

，

所以有。

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，

令f′（x）=0得x=e1-a，

当是增函数；

当是减函数；

∴f（x）在x= 处取得极大值，，无极小值。

（Ⅱ）①当时，即a＞-1时，

由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数，

∴，

又当时，f（x）=0，

时，，

∴f（x）与函数g（x）=1的图象在上有公共点解得a≥1，

又a＞-1，所以a≥1。

②当时，上是增函数，

∴f（x）在上的最大值为，

所以原问题等价于

又，∴无解；

综上，实数a的取值范围是。

（Ⅲ）令a=1，由（Ⅰ）知，，

∴，

，假设，

则，

故，

从而，

∴，

即，

∴。