热门试卷

解：，

（Ⅰ）因为时，f（x）取得极值，所以，

即2+1+a=0，故a=﹣3．

（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．

方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2-8，

（1）当△≤0，即时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．

（2）当△＞0，即或时，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，

只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，

设h（x）=2x2+ax+1，

由得a＞0，所以．

由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是．

（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=﹣1时，g（x）=lnx﹣x+1，其定义域是（0，+∞），

令，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．

而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x﹣1．

因为n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2﹣1．则．

所以=＜==．

所以结论成立．

解：（Ⅰ）＜2；

（Ⅱ）因为，

所以，

又因为，

所以，

故原不等式成立。

解：（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3

（2），

当n=1时，；

当n=2时，；

当n≥3时，．

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）

（3）根据题设，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．

∴f'（1）f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，

∴，或，

所以存在n0=1或2，使

解：（1）用数学归纳法证明：

（i）当时，原不等式成立；

当时，左边，右边，

因为，

所以左边≥右边，原不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即，

则当时，

∵，

∴，

于是在不等式两边同乘以得，

所以

即当时，不等式也成立

综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。

（2）当时，由（1）得

于是，。

（3）解：由（2），当时，

，

∴

即

即当时，不存在满足该等式的正整数n

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，

故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立

综上，所求的n只有。