热门试卷

解：（1）由已知得抛物线方程为y=x2，y'=2x，

则设过点An（xn，yn）的切线为y﹣xn2=2xn（x﹣xn），

令y=0，x=，故x n﹣1=，

又x0=1，∴xn=，yn=，

（2）证明：由（1）知xn=，

所以an=+=+=2﹣（﹣），

由于＜，＞，

得﹣＜﹣，

∴an=2﹣（﹣）＞2﹣（﹣），

从而Tn=a1+a2+a3+…+an＞2n﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]

                                         =2n﹣（）＞2n﹣，

即Tn＞2n﹣，

（3）由于yn=，故bn=2n+1，对于任意正整数n，

不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，

a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，

设f（n）=（1+）（1+）…（1+），

∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），

=×（1+）=×==＞1，

∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，

∴f（n）min=f（1）=×=，

∴0＜a≤．

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明．

①当n=1时，因为a2是方程的正根，所以；

②假设当n=k（k∈N*）时，，

因为，

所以，

即当n=k+1时，也成立．

根据①和②，可知对任何n∈N*都成立；

（Ⅱ）由

得，

因为，所以，

由，

所以．

（Ⅲ）由，

得，

所以，

于是，

故当n≥3时，，

又因为，

所以。

解：（1）用数学归纳法证明：

（i）当时，原不等式成立；当时，左边，右边

因为

所以左边右边，原不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即，则当时

∵

∴

于是在不等式两边同乘以1+x得

所以

即当时，不等式也成立

综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立；

（2）当时，由（1）得：（令易得）

于是，m=1，2，3，…，n；

（3）由（2）知，当时

∴

即

即当时，不存在满足该等式的正整数n

故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形

当时，，等式不成立

当n=2时，，等式成立；

当n=3时，，等式成立；

当n=4时，为偶数，为奇数，故，等式不成立；

当n=5时，同的情形可分析出，等式不成立

综上，所求的n只有2，3。

解：(Ⅰ)证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，

a5=a4+4=12，a6=a5+6=18，

从而， 所以a4，a5，a6成等比数列．

(Ⅱ)由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*，

所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)

=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*，

由a1=0，得a2k+1=2k（k+l），

从而a2k=a2k+1-2k=2k2，

所以数列{an}的通项公式为或写为。

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知a2k+1=2k(k+1)，a2k=2k2，

以下分两种情况进行讨论：

(1)当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)，

若m=1，则，

若m≥2，则

，

所以，，

从而，n=4，6，8，……

（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*），

，

所以，

从而，n=3，5，7，……

综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有。