热门试卷

证明：（Ⅰ）假设f（m）、f（n）都小于零，∴f（m）=m3-m＜0，f（n）=n3-n＜0，

∴m2（m-1）＜0，∴0＜m＜1，同理0＜n＜1，∴0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾，

∴f（m）、f（n）至少有一个不小于零．

（Ⅱ）∵f（a）=a3-a=b3-b，∴a3-b3=a2-b2，∴（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）（a+b），

∴a2+ab+b2=a+b，∴（a+b）2-3ab=a+b，∴（a+b）2-（a+b）=3ab＞0，

∴（a+b）2-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，∵a、b为不相等的正数，∴a+b＞1．

证明：假设．即 

∴2+x+y≥2x+2y

∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾．

∴假设不成立

∴至少有一个小于2．

证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

相加可得 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；

（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

∴a+b+c≤0，

而a+b+c=（x2-2y+）+（y2-2z+）+（z2-2x+）

=（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，

∴a+b+c＞0，

这与a+b+c≤0矛盾，

故假设是错误的，

故a、b、c中至少有一个大于0．

证明：假设p+q＞2，则p＞2-q，可得p3＞（2-q）3

p3+q3＞8-12q+6q2又p3+q3=2，

∴2＞8-12q+6q2，即q2-2q+1＜0⇒（q-1）2＜0，矛盾，

故假设不真，

所以p+q≤2．