- 反证法与放缩法
- 共409题
已知函数f（x）满足对于∀x∈R，均有
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值；
（3）证明：
正确答案
解：（1）依题意得
解之得f（x）=ax-xlna（a＞1）．
（2）f‘（x）=axlna-lna=（ax-1）lna．
当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．
∴f（x））在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．
∴f（x）min=f （0）=1．
（3）由（2）得 ax-xlna≥1恒成立，令a=e，则ex≥x+1．
在ex≥x+1中令x=-
∴1-
∴（1-
∴（
=
解析
解：（1）依题意得
解之得f（x）=ax-xlna（a＞1）．
（2）f‘（x）=axlna-lna=（ax-1）lna．
当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．
∴f（x））在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．
∴f（x）min=f （0）=1．
（3）由（2）得 ax-xlna≥1恒成立，令a=e，则ex≥x+1．
在ex≥x+1中令x=-
∴1-
∴（1-
∴（
=
用反证法证明命题“若a+b=1，则a，b至少有一个不比1大时，”首先假设（ ）
正确答案
解析
解：“若a+b=1，则a，b至少有一个不比1大”，第一步应假设：a、b都大于1．
故选：B．
命题“a，b是实数，若|a-1|+|b-1|=0，则a=b=1”，用反证法证明时，应先假设______．
正确答案
a，b不都等于1
解析
解：由题意，即考虑a=b=1的否定，由于a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1，
故答案为：a，b不都等于1．
设函数
（1）确定b，c的值
（2）若过点（0，2）可做曲线f（x）的三条不同切线，求a的取值范围
（3）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，
正确答案
（1）解：f′（x）=x2-ax+b，
∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
∴
∴
（2）解：f′（x）=x2-ax，设曲线上的任意一点为P
则在点P处的切线的方程为
∴
设
由于过点（0，2）可作曲线f（x）的三条不同切线，
因此函数g（x）有三个零点．
令g′（x）=2x2-ax=2x（x-
当x＜0时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；
当0＜x＜
当x
因此函数g（x）在x=0处取得极大值，在x=
由于函数g（x）有三个零点，必须满足：
极大值g（0）=1＞0，由极小值
解得
故a的取值范围是
（3）证明：反证法：由（2）可知：
两式作差得
若
化为
∴x1=x2，与已知x1≠x2矛盾．
故原结论成立．
解析
（1）解：f′（x）=x2-ax+b，
∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
∴
∴
（2）解：f′（x）=x2-ax，设曲线上的任意一点为P
则在点P处的切线的方程为
∴
设
由于过点（0，2）可作曲线f（x）的三条不同切线，
因此函数g（x）有三个零点．
令g′（x）=2x2-ax=2x（x-
当x＜0时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；
当0＜x＜
当x
因此函数g（x）在x=0处取得极大值，在x=
由于函数g（x）有三个零点，必须满足：
极大值g（0）=1＞0，由极小值
解得
故a的取值范围是
（3）证明：反证法：由（2）可知：
两式作差得
若
化为
∴x1=x2，与已知x1≠x2矛盾．
故原结论成立．
用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
正确答案
解析
解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故选：C．
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