热门试卷

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）

∵函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴

①当a≤0时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；

②当a＞0时，由f'（x）＜0得，由f'（x）＞0得x＞，

∴函数f（x）在区间（0，）上是减函数；函数f（x）在上是增函数

（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间上恒成立，即在区间上恒成立

令，只需g（x）在区间上的最小值g（x）min＞a

即可求导函数当时，g'（x）＞0，g（x）在上单调递增；

当1＜x＜2时，g'（x），＜0，g（x）在（1，2）上单调递减

∴g（x）在区间上的最小值是与g（2）中的较小者

∵．

∴

∴

∴g（x）在区间上的最小值是

∴a＜2﹣2ln2∴实数a的取值范围为（﹣∞，2﹣2ln2）；

（Ⅲ），证明如下：

据（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值

∴f（x）=x﹣1﹣lnx≥f（1）=0，

∴lnx≤x﹣1

故当n∈N*且n≥2时，

                                 =

∵

∴＜

∴

∴

解：（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，

则，

于是有：xnxn+1=xn+2

即：．

（2）记，

则，

因为，

因此数列{}是等比数列．

（3）由（2）知：，．

①当n为偶数时有：（﹣1）n﹣1 xn﹣1+（﹣1）nxn=，

于是在n为偶数时有：．

②在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，

于是有：（﹣1）+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn．

综合①②可知原不等式得证．

（Ⅰ）证明：依题意有，

又，

因此，

可得，

所以，

即。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，

又；

同理；

又，

所以均成立；

当n≥10时，

取i=5，则，

可知n＜10；

又当n≤9时，，

所以n≤9。

（Ⅲ）解：对于任意，

由可知，

，

因此，只需对成立即可．

因为，

因此可设，

由；

由；

由；

由；

所以满足条件的一个集合。

解：（1）依题意点Pn的坐标为（xn，yn+1），

∴=，

∴xn+1=xn+n，

∴xn=xn﹣1+n﹣1=xn﹣2+（n﹣2）+（n﹣1）=…=x1+1+2+…+（n﹣1）=．

（2）∵，

∴，

∴当n≥2时，，

∴T2n﹣1=c1+c2+…+c2n﹣1≤=，（当n=1时取“=”）．

（3）∵an=xn+1﹣xn=n，

∴，

由，

知，

∴，

而d1=2，

∴，

于是

=．

∴．

当n=1，2时 ；

当n=3时，

当n≥4时，

下面证明：当n≥4时，

证法一：（利用组合恒等式放缩）

当n≥4时，=，

∴当n≥4时，

证法二：（函数法）∵n≥4时，2n﹣2

构造函数，

[h'（x）]'=h''（x）=1﹣2xln22

∴当x∈[4，+∞）时，h''（x）=1﹣2xln22＜0

∴h'（x）=x﹣2xln2在区间[4，+∞）是减函数，

∴当x∈[4，+∞）时，

∴在区间[4，+∞）是减函数，

∴当x∈[4，+∞）时，

从而n≥4时，，即2n﹣2，

∴当n≥4时，．