热门试卷

解：（1）

所以是其极小值点，极小值为；x=0是其极大值点，极大值为；

（2）

由

时方程无解

时x=3

方程的根为；

（3）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）g（n）-

从而有a1=S1=1

当2＜k≤100时，ak=Sk-Sk-1=

＞0

即对任意的2＜k≤100，都有

又因为a1=S1=1

所以

故。

（1）解：∵函数f（x）=是定义在（0，+∞）的连续函数．

∴an===

（2）证明：当n=1时，1＜ 成立；

当n=2时，成立；

当n≥3时，

                              =，

所以当n∈N*时原不等式成立．

解：（1）函数的定义域为（-a，+∞），

求导函数可得 

令f′（x）=0，

可得x=1-a＞-a

令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；

令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a

∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值

∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，

∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1。

（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意

当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，

即g（x）=x-ln（x+1）-kx2

求导函数可得g′（x）=

g′（x）=0，可得x1=0，

①当k≥时，，

g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，

从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，

即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；

②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，

因此g（x）在上单调递增，

因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；

综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），

有f（x）≤kx2成立，k的最小值为。

（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立

当n≥2时，

在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，

∴（i≥2，i∈N*）

∴=f（2）+

＜2-ln3+=2-ln3+1-＜2

综上，（n∈N*）。

解：（Ⅰ）

∴

令，得x=2（x=-2舍去）

当时，，当时，F（x）为减函数。

x=2为F（x）的极大值点，且。

（Ⅱ）原方程可化为

即为，且

①当时，，则，即

，此时

∵

此时方程仅有一解

②当时，，由得，

若，则，方程有两解；

当时，则，方程有一解；

当或，原方程无解。

（Ⅲ）由已知得

设数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*）

从而有，当时，

又

即对任意的时，有

又因为

所以

则

故原不等式成立。