- 反证法与放缩法
- 共409题
用反证法证明：关于x的方程x2+4ax-4a+3=0、x2+（a-1）x+a2=0、x2+2ax-2a=0，当a≤-
正确答案
设三个方程都没有实根，
则有判别式都小于零得：
与a≤-
故原命题成立；
已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．
正确答案
证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则△1=4b2-4ac≤0，△2=4c2-4ab≤0，△3=4a2-4bc≤0．
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0，
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
已知
正确答案
解：∵
若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同时大于1．
正确答案
证明：假设（2-a）b，（2-b）c（2-c）a同时大于1．即（2-a）b＞1，（2-b）c＞1（2-c）a＞1，
则
所以
再由 0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，
可得 
故 
所以假设不成立，即原命题成立．
用反证法证明：不存在整数m，n，使得m2=n2+1998．
正确答案
假设存在整数m、n使得m2=n2+1998，则m2-n2=1998，即（m+n）（m-n）=1998．
当m与n同奇同偶时，m+n，m-n 都是偶数，∴（m+n）（m-n）能被4整除，但4不能整除1998，此时（m+n）（m-n）≠1998；
当m，n为一奇一偶时，m+n 与m-n 都是奇数，所以（m+n）（m-n）是奇数，此时（m+n）（m-n）≠1998．
∴假设不成立则原命题成立．
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