热门试卷

反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3≤0，

而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．

解：（1）∵，

∴

∴fn（x）=xfn﹣1（x）+a  

∵任意的n∈N*，fw（1）=1，

∴a=0，

∴fn（x）=xfn﹣1（x）

∵f1（x）=x（x≠0），

∴

（2）证明：Fn（x）==

∴Fn（2）===2（﹣）

∴F1（2）+F2（2）+…Fn（2）=2（﹣）＜1

（3）gn（x）=Cn0+2Cn1f1（x）+3Cn2f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x）

             =Cn0+2xCn1+3x2Cn2+…+（n+1）xnCnx=[x（1+x）n] ’

             =（1+x）n+nx（1+x）n﹣1                 =[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1

设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）

=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1 ，①

∴（1+x）Sn（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）2+…+[（n+1）x+1]（1+x）n，②

①﹣②化简可得：﹣xSn（x）=x﹣（n+1）x（1+x）n∴Sn（x）=（n+1）（1+x）n﹣1

∴不存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）n．

解：（1）∵f（1）=a﹣b=0，∴a=b，∴，∴f '（x）=a+﹣．

要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，

则在（0，+∞）内f '（x）恒大于0或恒小于0，

当a=0时，f '（x）=﹣＜0在（0，+∞）内恒成立；

当a＞0时，要使f '（x）=a（﹣）2+a﹣＞0恒成立，则a﹣＞0，解得a＞1，

当a＜0时，要使f '（x）=a（﹣）2+a﹣＞＜0恒成立，则a﹣＜0，解得a＜﹣1，

所以a的取值范围为a＞1或a＜﹣1或a=0．

（2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，

∴f '（1）=0，即a+a﹣2=0，解得 a=1

∴f '（x）=（﹣1）2，a n+1=an2﹣nan+1

下面用数学归纳法证明：

（Ⅰ）当n=1，a1≥3=1+2，不等式成立；

（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：ak≥k+2，∴ak﹣k≥2＞0，

∴a k+1=ak（ak﹣k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3也就是说，

当n=k+1时，a k+1≥（k+1）+2成立

根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有an≥n+2成立

②由①得an=a n﹣1（a n﹣1﹣2n+2）+1≥a n﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2a n﹣1+1，

于是a n+1≥2（a n﹣1+1）（n≥2），

所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…，an+1≥2（a n﹣1+1）

累乘得：a n+1≥ 2 n﹣1（a1+1），

则≤ （n≥2），

≤ （1++…+ ）= （1﹣ ）＜．