热门试卷

解：，

∴当n≥2时，代入，得，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

 ，

∴，

同理，

，

…

，

∴，

又，

∴，

∴。 

（Ⅲ），

∴，

∴。

（Ⅳ），

∴，

∴，

当n≥3时，，

∴，

∴，

，

，

…

，

∴，

故。

解：（1））∵an+1=2an+1（n∈N*），

∴an+1+1=2（an+1），

∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴an+1=2n即an=2n-1（n∈N*）。

（2）∵

∴

∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①

2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1 ②

②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，

即（n-1）bn+1-nbn+2=0，③

nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 ④

③-④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0，

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），

∴{bn}是等差数列。

（3）∵，k=1，2，3，···，n

∴

∵，k=1，2，3，···，n

∴

∴。

解：（1），

即，

∴{bn}是等比数列，

∴。

（2）由（1）可知：，

∴，

故。

解：（1）∵方程，

∴，

∴﹣x+a+1=0，

∵a＞0，

∴△=1﹣4（a+1）=﹣4a﹣3＜0

方程没有实数根；

（2）∵函数，

∴g'（x）=a+2x+a，

令g'（x）=a+2x+a=0，则△=4﹣4a2，

①当△=4﹣4a2＜0，即a＞1，对任意实数g'（x）＞0，

∴g（x）在R上单调递增

②当△=4﹣4a2=0，即a=1，g'（1）=0，但g'（x）＞0，（x≠1），

∴g（x）在R上单调递增

③当△=4﹣4a2＞0，即0＜a＜1，对任意实数由g'（x）＞0，a+2x+a＞0，得x或x＞，

∴g（x）在（）上单调递减，g（x）在（﹣∞，），（，+∞）上单调递增

（3）当a=2时，由=0，得  x2=f（）=f（0）=，

|﹣x2|=，|x3﹣x2|=||=×|x22﹣x12|＜×|x2﹣||x2+|

=××|x2﹣|=

当k≥2时，∵0＜xk≤

∴|xk+1﹣xk|=||=×|xk2﹣xk﹣12|<×|xk﹣xk﹣1||xk+xk﹣1|＜×|xk﹣xk﹣1|＜×|xk﹣1﹣xk﹣2|＜…＜×|x3﹣x2|＜

对任意m∈N+，|xm+k﹣xk|=|（xm+k﹣xm+k﹣1）+（xm+k﹣1﹣xm+k﹣2）+（xm+k﹣2﹣xm+k﹣3）…+（xk+1﹣xk）|≤|（xm+k﹣xm+k﹣1）|+|（xm+k﹣1﹣xm+k﹣2）|+…+|（xk+1﹣xk）|

≤（++…++1）|xk+1﹣xk|=|xk+1﹣xk|=·=，即证；