- 反证法与放缩法
- 共409题
用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（ ）
正确答案
解析
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，
故选：A．
已知a，b，c∈R+，且
正确答案
证明：令x=
∴a=
∴a+b+c=
∵
（y+z）+（x+z）+（x+y）≥3
∴两式相乘可得2（
∴
∴a+b+c≥
解析
证明：令x=
∴a=
∴a+b+c=
∵
（y+z）+（x+z）+（x+y）≥3
∴两式相乘可得2（
∴
∴a+b+c≥
实数a，b，c，d满足a+b=c+d=2，ac+bd＞4，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．
正确答案
证明：假设a、b、c、d都是非负数，
∵a+b=c+d=2，
∴（a+b）（c+d）=4．
∴ac+bd+bc+ad=4≥ac+bd．
这与ac+bd＞4矛盾．
所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数．
解析
证明：假设a、b、c、d都是非负数，
∵a+b=c+d=2，
∴（a+b）（c+d）=4．
∴ac+bd+bc+ad=4≥ac+bd．
这与ac+bd＞4矛盾．
所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数．
用反证法证明：若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至多有一个实根．
正确答案
证明：假设f（x）=0在[a，b]上有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2，
则f（x）=f（x1）=0…（6分）
∵f（x）在[a，b]上为单调增函数．
∴f（x1）＜f（x2）与f（x1）=f（x2）矛盾
∴假设不成立
故f（x）=0在[a，b]上至多为一个实数根．
解析
证明：假设f（x）=0在[a，b]上有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2，
则f（x）=f（x1）=0…（6分）
∵f（x）在[a，b]上为单调增函数．
∴f（x1）＜f（x2）与f（x1）=f（x2）矛盾
∴假设不成立
故f（x）=0在[a，b]上至多为一个实数根．
用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，
故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，
故选C．
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