反证法与放缩法
共409题

· 反证法与放缩法

反证法与放缩法
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题型：简答题

简答题

（1）讨论函数（x∈[e-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．

（2）求证：对任意的n∈N*，不等式总成立．

正确答案

（1）解：由题意得：．令f‘（x）=0，得x=．

当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；

当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减．

又因为f（e-1）=-e2，，，所以当或k＜-e2时，没有交点；

当或时，有唯一的交点；当时，有两个交点．

（2）证明：由（1）知函数f（x）在上递增，在上递减，

故f（x）在（0，+∞）上的最大值为．

即对x∈（0，+∞）均有，故．

当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有

=≤

＜=

=．

综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．

解析

（1）解：由题意得：．令f‘（x）=0，得x=．

当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；

当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减．

又因为f（e-1）=-e2，，，所以当或k＜-e2时，没有交点；

当或时，有唯一的交点；当时，有两个交点．

（2）证明：由（1）知函数f（x）在上递增，在上递减，

故f（x）在（0，+∞）上的最大值为．

即对x∈（0，+∞）均有，故．

当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有

=≤

＜=

=．

综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．

题型：单选题

单选题

用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（　　）

Aa，b，c都是偶数

Ba，b，c中至多一个是偶数

Ca，b，c都不是偶数

Da，b，c中至多有两个是偶数

正确答案

解析

解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，

故选B．

题型：单选题

单选题

用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（　　）

Aa，b，c都是偶数

Ba，b，c都不是偶数

Ca，b，c中至多一个是偶数

Da，b，c中至多有两个是偶数

正确答案

解析

解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，

故选B．

题型：简答题

简答题

已知x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：中至少有一个大于．

正确答案

证明：反证法，假设，∵x＞0，y＞0，

∴3x≤1+2y，3y≤1+2x，∴3（x+y）≤2+2（x+y），∴x+y≤2，这与已知 x+y＞2矛盾，故假设不成立，

故中至少有一个大于．

解析

证明：反证法，假设，∵x＞0，y＞0，

∴3x≤1+2y，3y≤1+2x，∴3（x+y）≤2+2（x+y），∴x+y≤2，这与已知 x+y＞2矛盾，故假设不成立，

故中至少有一个大于．

题型：简答题

简答题

用反证法证明：函数f（x）=x3-2x2-5x+6在区间（3，+∞）上不存在极值点．

正确答案

22．证明：假设函数f（x）=x3-2x2-5x+6在区间（3，+∞）上存在极值点． …1分

则存在x0＞3，使得f‘（x0）=0． …2分

因为f'（x）=3x2-4x-5，令f'（x）=0，则． …3分

容易看出

，下面证明． …4分

要证明：成立，

只需证：成立，

只需证：19＜49成立，

上式显然成立，故有成立．

综上，，与存在x0＞3，使得f'（x0）=0矛盾． …7分

因此假设不成立，所以函数f（x）=x3-2x2-5x+6在区间（3，+∞）上不存在极值点．…8分．

解析

22．证明：假设函数f（x）=x3-2x2-5x+6在区间（3，+∞）上存在极值点． …1分

则存在x0＞3，使得f‘（x0）=0． …2分

因为f'（x）=3x2-4x-5，令f'（x）=0，则． …3分

容易看出

，下面证明． …4分

要证明：成立，

只需证：成立，

只需证：19＜49成立，

上式显然成立，故有成立．

综上，，与存在x0＞3，使得f'（x0）=0矛盾． …7分

因此假设不成立，所以函数f（x）=x3-2x2-5x+6在区间（3，+∞）上不存在极值点．…8分．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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