- 直线的交点坐标与距离公式
- 共2610题
平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M经过F1(0，-c)，F2(0，c)，A(
(Ⅰ)求圆M的标准方程（用含c的式子表示）；
(Ⅱ)已知椭圆
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A，B，M，O，C，D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
正确答案
解：(Ⅰ)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得
⊙M的方程为
⊙M的标准方程为
(Ⅱ)①⊙M与x轴的两个交点
又B（b，0），D（-b，0），
由题设
所以
解得
所以椭圆离心率的取值范围是
②由(Ⅰ)，得
由题设，得
∴
∴直线MF1的方程为
直线DF2的方程为
由①②，得直线MF1与直线DF2的交点
易知
∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1(0，-c)，F2(0，c)，A(
(1)求⊙M的标准方程(用含c的式子表示)；
(2)已知椭圆
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
正确答案
解：(1)设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得
⊙M的方程为
⊙M的标准方程为
(2)①⊙M与x轴的两个交点
又B(b，0)，D(-b，0)，
由题设
解得
所以椭圆离心率的取值范围为
②由(1)，得
∴
∴直线MF1的方程为
直线DF2的方程为
由①②，得直线MF1与直线DF2的交点
∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线
在平面直角坐标系中，已知两个定点A(-3，0)和B(3，0)．动点M在x轴上的射影是H（H随M移动而移动），若对于每个动点M总存在相应的点P满足
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设过定点D(2，0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于O，R两点，求证：直线AQ与直线RB交点总在某直线l0上．
正确答案
解：(Ⅰ)设M（x，y），则
由
即轨迹C的方程为
(Ⅱ)若直线l的斜率为k时，直线QR：y=k（x-2），
设
联立
即
观察，得
即
直线AQ：
直线RB：
联立
解得：
若l⊥x轴，不妨得
则此时，直线AQ：
直线RB：
联立
即交点也在直线l0：
已知以原点O为中心，F（
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G，H两点，求
正确答案
解：（1）设C的标准方程为
则由题意
又
因此a=2，
C的标准方程为
C的渐近线方程为
即x-2y=0和x+2y=0。
（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，
因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，
故点M，N均在直线xEx+4yEy=4上，
因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4
设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组
解得
故
因为点E在双曲线
所以
已知抛物线
（1）求
（2）过
正确答案
解：(Ι)设直线
所以
故
（Π）
整理得
同理得
联立方程
故
长为3的线段AB的两个端点A，B分别在x，y轴上移动，点P在直线AB上且满足
（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）记点P轨迹为曲线C，过点Q（2，1）任作直线l交曲线C于M，N两点，过M作斜率为
正确答案
解：（Ⅰ）设
由
又由
即为点P的轨迹方程。
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；
当l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，
联立方程
设
则
则MR的方程为
与曲线C的方程联列得
则
所以
直线NR的方程为
令
∴
从而
即直线NR与直线OQ交于定点
过点C（0，1）的椭圆
（Ⅰ）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：
正确答案
解：（Ⅰ）由已知得
所以椭圆方程为
椭圆的右焦点为
解得
所以
故
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符
设直线l的方程为
解得
所以D点的坐标为
又直线AC的方程为
因此
所以
故
已知抛物线C：x2=2py（p>0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）过坐标平面上的点F'作抛物线C的两条切线l1和l2，分别交x轴于A，B两点。
（i）若点F'的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或抛物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明。
正确答案
解：（1）由抛物线的定义，得
故抛物线C的方程为x2=4y。
（2）（i）依题意知，过点F'（0，-1）且与曲线C相切的直线的斜率存在，设其方程为y=kx-1，
由
令Δ=0得k=±1
故所求的两条切线分别为l1：y=x-1；l2：y=-x-1
设l1交x轴于点A，l2交x轴于点B
由
由
设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得
故△ABF的外接圆方程为x2+y2=1，它过点F（0，1）。
（ii）命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2，分别交x轴于A，B两点，则△ABF'的外接圆过此抛物线的焦点F，
证明：设l1，l2分别切抛物线x2=2py于P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1≠0，x2≠0
∵y'=
由
由
由
AB的垂直平分线方程为
AF′的垂直平分线方程为
它们的交点为
又
故AF的中点为
所以
∴
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，
（1）求抛物线的方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。
正确答案
解：（1）抛物线y2=2px的准线为
于是
∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x；
（2）∵点A的坐标是（4，4），
由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴
∴
则FA的方程为y=
解方程组
∴
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2，
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；
当m≠4时，直线AK的方程为
圆心M（0，2）到直线AK的距离
令d＞2，解得m＞1；
∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交。
设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0，
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．
正确答案
证明：(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，
代入k1k2+2=0，得k12+2=0，此与k1为实数的事实相矛盾，
从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)由方程组
而
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2+y2=1上．
扫码查看完整答案与解析