热门试卷

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x2+（y-1）2=1内切，

∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．

由曲线E的方程为x2=4y，∴y′=，∴切线的斜率为，

∴=2，即x0=4，∴y0==8，

∴切点为(4，8)．

∴切线方程为y-8=2(x-4)，化为2x-y-8=0．

∴原点到此切线的距离d==．

（1）根据题意，动点 P是以F(0，)为焦点以y=-为准线的抛物线，

所以p=1开口向上，

所以动点 P的轨迹C的方程为x2=2y

（2）以 M P为直径的圆的圆心（，），|MP|===

所以圆的半径r=，圆心到直线y=的距离d=|-|=|y0|，

故截得的弦长l=2=2

1

4

y02+

1

4

-

1

4

y02

 =1

（3）总有 P B平分∠A PF．

证明：因为y=

所以，y′=x，kl|x=x0=x0．

所以切线l的方程为y=x0x-，

令y=0得x=，

所以B（，0）

所以B到PA的距离为d1=|x0-|=

下面求直线PF的方程，

因为F(0，)

所以直线PF的方程为y-=(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0

所以点B到直线PF的距离d2===d1

所以 PB平分∠APF．

令x=0，则y=，∴B=(0，)，

令y=0，则x+=0，∴x=-1，∴A=（-1，0）．…（2分）

∴|AB|==2

∵△ABC是等边三角形

∴S△ABC=×22=…（4分）

点P到线AB的距离d==

∵S△ABP=S△ABC，

∴d|AB|=××2=…（8分）

∴|m+|=2

∴m=或-…（12分）

（1）证明：由绝对值不等式知，

ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y

≥|（x-x1）+（x2-x）|+|（y-y1）+（y2-y）|

=|x2-x1|+|y2-y1|

=ρ（A，B）

当且仅当（x-x1）•（x2-x）≥0，且（y-y1）•（y2-y）≥0时等号成立．

（2）由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得

（x-x1）•（x2-x）≥0且（y-y1）•（y2-y）≥0  （Ⅰ）

由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|（Ⅱ）

因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，

不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，

由（Ⅱ）得y=，

此时，点C是线段AB的中点，即只有点C(，)满足条件；

2°若x1≠x2且y1=y2，

同理可得：只有AB的中点C(，)满足条件；

3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，

由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，

由（Ⅱ）得x+y=+，

此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点(，)，

斜率为-1的直线x+y=+夹在矩形AA1BB1之间的部分，

其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．

（1）直线AB的方程为+=1，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即=2．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．

（2）设M（x，y），则，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）

（3）S△AOM=a•=(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2+6=4+6．

当且仅当a=b=4+2时面积取最小值6+4．