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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-4:坐标系与参数方程

在曲线C1:(θ为参数)上求一点,使它到直线C2:(t参数)

的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.

(2)选修4-5;不等式选讲

若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.

正确答案

(1)直线C2化成普通方程是x+y+2-1=0.

设所求的点为P(1+cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离d==|sin(θ+)+2|

当θ+=+2kπ,k∈Z时,即θ=+2kπ,k∈Z时,d取最小值1,

此时,点P的坐标是(1-,-).

(2)根据题意,=,即ab=-2(a+b),

∵ab>0,∴a<0,b<0,∴(-a)+(-b)≥2

∴ab≥4,∴≥4或≤0,∴ab≤16,当且仅当a=b-4时等号成立,∴(ab)min=16

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题型:简答题
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简答题

已知=(1,0),=(0,1),若向量=(m,n)满足(-)•(-)=0,试求点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值.

正确答案

=(m,n),代入(-)•(-)=0得

-m(1-m)-n(1-n)=0,

∴(m-)2+(n-)2=

它表示以()为圆心,为半径的圆.

∵圆心()到直线x+y+1=0的距离d==

∴点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值为

d-r=-=

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题型:填空题
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填空题

若圆C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内,则h的最小值为______.

正确答案

由圆的方程(x-h)2+(y-1)2=1,得到圆心C的坐标为(h,1),半径r=1,

当直线x+y+1=0与圆C相切且圆在直线的上方时,圆心C到直线x+y+1=0的距离d==r=1,

解得:h=-2或h=--2(不合题意,舍去),

则h的最小值为:-2.

故答案为:-2

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题型:简答题
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简答题

已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).

(Ⅰ)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;

(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.

正确答案

(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),

由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)

因为点F到直线l的距离为

所以=,…(3分)

解得k=±,所以直线l的斜率为±.…(5分)

(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

因为AB不垂直于x轴,

则直线MN的斜率为

直线AB的斜率为,…(7分)

直线AB的方程为y-y0=(x-x0),…(8分)

联立方程

消去x得(1-)y2-y0y++x0(x0-4)=0,…(10分)

所以y1+y2=,…(11分)

因为N为AB中点,

所以=y0,即=y0,…(13分)

所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)

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题型:简答题
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简答题

过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x轴y轴的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB的方程.

正确答案

由题意,设A(a,0)、B(0,b).则直线AB方程为+=1(a>0,b>0)

∵MA⊥MB,∴×=-1,化简得a=10-2b.

∵a>0,∴0<b<5.直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0

∴点M(2,4)到直线AB的距离为d1=

又∵O点到直线AB的距离为d2=,∵四边形OAMB的面积被直线AB平分,

∴d1=d2,∴2b+4a-ab=±ab.

又∵a=10-2b.

解得

∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0.

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题型:简答题
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简答题

已知两平行直线ℓ1:ax-by+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.且坐标原点到这两条直线的距离相等.求a,b的值.

正确答案

坐标原点到这两条直线的距离相等且ℓ1∥ℓ2

∴ℓ1,ℓ2在y轴上的截距互为相反数即 =-2,∴b=-2,

即有ℓ1:ax+2y+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.

由ℓ1∥ℓ2,且ℓ1,ℓ2斜率存在.∴-=-(a-1),

解之得a=2综上:a=2,b=-2.

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题型:简答题
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简答题

已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,-2),C(-3,4),求

(Ⅰ)BC边上的中线AD所在的直线方程;

(Ⅱ)△ABC的面积.

正确答案

(Ⅰ)由已知得BC中点D的坐标为D(-2,1),∴中线AD所在直线的方程是=

即  x-2y+4=0.

(Ⅱ)∵BC==2,直线BC的方程是   =,即 3x+y+5=0,

点A到直线BC的距离是 d==,∴△ABC的面积是S=BC•d=14.

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,点A(-1,2),B(5,5),C(6,-2)

求(1)△ABC的面积

(2)△ABC的外接圆的方程.

正确答案

(1)∵B(5,5),C(6,-2)

∴|BC|=

直线BC的方程为:=,即7x+y-40=0,

∴A到直线lBC的距离d=

∴S△ABC=d|BC|==

(2)设△ABC的外接圆的方程圆心I(a,b),外接圆半径为r,则

△ABC的外接圆的方程(x-

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6

)2+(y-

7

6

)2=

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题型:简答题
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简答题

在空间直角坐标系中,解答下列各题:

(1)在x轴上求一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为

(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.

正确答案

(1)设点P的坐标是(x,0,0),

由题意|P0P|=

=

∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.

∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可.

(2)设点M(x,1-x,0)

则|MN|==

∴当x=1时,|MN|min=

∴点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.

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题型:简答题
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简答题

椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R);

(Ⅰ)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;

(Ⅱ)求证:当△PAB的面积取得最大值时,原点O是△PAB的重心.

正确答案

(Ⅰ)由e2=1-=+=1,

解得a2=4,b2=3,…(1分)

椭圆方程为+=1; …(2分)

设A(x1,y1)、B(x2,y2),

+=m

(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),

…(3分)

+=1,+=1,

两式相减得kAB==-×=-×=-;…(5分)

(Ⅱ)证明:设AB的方程为 y=-x+t,

代入椭圆方程得:x2-tx+t2-3=0,…(6分)

△=3(4-t2),|AB|=×=×

点P到直线AB的距离为d=

S△PAB=|2-t|=(-2<t<2). …(8分)

令f(t)=3(2-t)3(2+t),

则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),

由f’(t)=0得t=-1或2(舍),

当-2<t<-1时,f’(t)>0,

当-1<t<2时f’(t)<0,

所以当t=-1时,f(t)有最大值81,

即△PAB的面积的最大值是;                 …(10分)

根据韦达定理得 x1+x2=t=-1,

而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3,

于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,

因此△PAB的重心坐标为(0,0).        …(12分)

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线的交点坐标与距离公式

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