热门试卷

过点M（3，5）且垂直于OM的直线为所求的直线，由直线OM的斜率k′==，

则所求直线的斜率k=-，

所求直线的方程为：y-5=-（x-3）

化简得：3x+5y-34=0

（Ⅰ）先设出直线的方程，由直线与圆有两个不同的交战，故联立圆方程可得得一元二次方程，由判别式大于0可得K的取值范围为；（Ⅱ）没有符合题意的常数,理由见解析.

试题分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由向量加减法，可利用向量处理，设，则，由与共线等价于，然后由根与系数关系可得，由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数.注意运用向量法和方程的思想.

试题解析：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，

过且斜率为的直线方程为．

代入圆方程得，整理得．　　　①

直线与圆交于两个不同的点等价于，

解得，即的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，

由方程①，　　　　②

又．　　③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得 

由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．

6

过点作一圆与轴、轴分别相切于点A、B，且使点

在优弧AB上，则圆的方程为，于是过点作圆的切线和轴、轴分别相交于两点，圆为的内切圆，故

若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于

两点，则。由折线的长大于的长及切线长定理，得

所以，的最大值为6。

（I）（1）当过点P（1，2）的直线l与x轴垂直时，

此时圆心O到直线l的距离等于1，

所以x=1为所求直线方程．

（2）当过点P（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），

即：kx-y-k+2=0，由题意有=1，解得k=，

故所求的直线方程为y-2=(x-1)，即3x-4y+5=0．

综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．

（II）：设点P（x，y），M（x0，y0），则=（x，y），=(x0，y 0)

因为N（4，0）

所以=（4，0）

因为=(+)，

所以（x，y）=[（4，0）+（x0，y0）]

即，即

又x02+y02=4，∴（2x-4）2+4y2=4，

即：（x-2）2+y2=1．

故动点P的轨迹方程：（x-2）2+y2=1．

（1）见解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，

∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.

(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.

①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由

得N，则＝.

∴·＝·＝＝－5.

综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.

另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.

因直线斜率为tan45°=1，可设直线方程y=x+b，化为一般式x-y+b=0，

由直线与原点距离是5，得=5⇒|b|=5∴b=±5，

所以直线方程为x-y+5=0，或y-5=0．

∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：

BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，

依题意知，b==，

设点P（0，m）（0＜m＜），

∵直线AC的方程为+=1，即x+3y-3=0，

∴点P（0，m）到直线x+3y-3=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d==|m-|=（-m），

又点P（0，m）到BC的距离为m，

∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•（-m）≤•(

m+(

7

-m)

2

)2=•=（当且仅当m=时取“=”）．

∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为．

（1）x=1显然符合条件；

（2）当A（2，3），B（0，-5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，kAB=4，所以所求的直线斜率为4，

∴y-2=4（x-1），化简得：4x-y-2=0，

所以满足条件的直线为4x-y-2=0，或x=1