直线的交点坐标与距离公式
共2610题

直线的交点坐标与距离公式
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题型：简答题

简答题

（本小题14分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为，求圆C的方程.

正确答案

解：设圆C的圆心为，半径为R，则有：

，解得，

即所求的圆的方程为：.

略

题型：填空题

填空题

若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______________．

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b范围为圆与直线没有公共点.．

正确答案

b＞2或b＜–2

略

题型：填空题

填空题

光线从A(1，0)出发经y轴反射后到达圆所走过的最短路程为．

正确答案

试题分析：假设光线从出发到达轴一点后反射到圆上一点,由于关于轴对称点为,根据反射原理,,所以,其中为圆心,半径,所以.

题型：简答题

简答题

（12分）.已知圆C：

直线

（1）证明：不论取何实数，直线与圆C恒相交；

（2）求直线被圆C所截得的弦长最小时直线的方程；

正确答案

（1）可证明直线L过圆C内的定点（3,1）

（2）2X-Y-5=0

本题考查学生会求两直线的交点坐标，会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．

（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，即要证直线l横过过圆C内一点，方法是把直线l的方程改写成m（2x+y-7）+x+y-4=0可知，直线l一定经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；

（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，最短的弦是过A垂直于直径的弦，所以连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，根据垂径定理可得A是BD的中点，利用（1）圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，根据勾股定理可求出12

|BD|的长，求得|BD|的长即为最短弦的长；根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出直线BD的斜率，又直线BD过A（3，1），根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．

题型：填空题

填空题

已知A（0，-4），B（3，2），抛物线y=x2上的点到直线AB的最短距离为______．

正确答案

∵kAB==2

∴直线AB的方程为：y=2x-4，即2x-y-4=0

又∵y=x2，则y'=2x，

当y'=2时，x=1，此时y=1

故抛物线y=x2上（1，1）点到直线AB的距离最小距离d为：

d==

故答案为：

题型：填空题

填空题

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2，曲线C的参数方程为（φ为参数），则曲线C上的点到直线l的最短距离为______．

正确答案

∵直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2，

∵x=pcosθ，y=psinθ，

∴x+y=2，

∵曲线C的参数方程为（φ为参数），

∴+y2=1，

可以设直线y=-x+k与椭圆+y2=1相切，

∴5x2-8kx+4k2-4=0，

△=0，∴64k2-20（4k2-4）=0，

∴k=±

∴直线y=-x±与直线x+y=2，的距离即是最短距离，

∴d=±，

∴曲线C上的点到直线l的最短距离为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如果方程表示一个圆，

（1）求的取值范围；

（2）当m=0时的圆与直线相交，求直线的倾斜角的取值范围.

正确答案

（1）（2）

本试题主要是考查了圆的一般式方程的运用，以及直线与圆的位置关系的运用。‘

（1）根据已知条件可知，将方程配方得

方程表示圆＞0

解得＜1或，＞4

（2）当=0时，圆的方程为

直线与圆相交

≤2

解得≤ k≤，那么利用直线与圆相交得到倾斜角的范围。

解：（1）将方程配方得

方程表示圆＞0

解得＜1或，＞4

的取值范围为 …………………6分

（2）当=0时，圆的方程为

直线与圆相交

≤2

解得≤ k≤ ……………………10分

设直线的倾斜角为

则

又

直线的倾斜角的取值范围为 …………………………13分

题型：简答题

简答题

已知点A(1,-1),B(5,1),直线经过点A,且斜率为，

（1）求直线的方程。（2）求以B为圆心，并且与直线相切的圆的标准方程。

正确答案

（1）3x+4y+1=0（2）

本试题主要是考查了圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系的综合运用。利用两点坐标求解斜率得到直线的方程，以及圆心到直线的距离等于圆的半径得到与圆的方程。

解：由直线方程点程：

直线过Ａ点：即整理得：3x+4y+1=0

(2)由题意，与圆Ｂ相切，则圆心Ｂ与直线的距离相切则：

，

以Ｂ为圆心的圆的标准方程：。

题型：简答题

简答题

（本小题满分15分）

已知圆，为抛物线上的动点.

(Ⅰ) 若，求过点的圆的切线方程；

(Ⅱ) 若，求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值.

正确答案

（Ⅰ）切线方程为或．

（Ⅱ）两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程以及三角形面积的求解的综合运用。

（1）因为．当点时，设切线方程为，即，利用导数的几何意义得到k的值，得到结论。

（2）设切线，即，

切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．

表示得到三角形的面积的公式，然后结合函数求解得到最值。

解：（Ⅰ）．

当点时，设切线方程为，即．

圆心到切线的距离为，即．

所以，得或．

所以切线方程为或．………………………………………………6分

（Ⅱ）设切线，即，

切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．

即，

化简得

设两切线斜率分别为，则，

，当且仅当时取等号．

所以两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．………………………………15分

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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