热门试卷

（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1。

故CD⊥平面A1ABB1。

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

（2）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1。

又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角，因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2，所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===

解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）

由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）

设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥

∴ •=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）

设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），

所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

解法1：（1）如图（1），连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（2）过点Ｂ作

由（1）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且.

由知，为直线与平面所成的角.:

由题意，知

因为所以

由所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（1）易知因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

（2）由题设和（1）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（1）知，由故

解得.

又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

.

（1） 证明 ：在中，因为

所以 

因此 ，故所以

又  所以，

又  ，

所以  ，

所以  。

（2）解法一：

因为  三角形是等腰三角形，

所以  ，

因此  。

又  ，

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于，在中，，

所以  ，

故  边上的高为2，此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为。

设直线与平面所成的角为，

则，

又，

所以  。

解法二：

由（1）知两两垂直，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，由于三角形是等腰三角形，所以  ，

又，

因此  ，

因为  ，

所以  四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

因此  ，

设是平面的一个法向量，

则  ，

解得  ，

取，得，

又，

设表示向量与平面的法向量所成的角，

则  ，

所以  ，

因此直线PB与平面PCD所成角为。

（3）因为，

所以  四边形四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

又  ，

所以  四棱锥P—ACDE的体积。