线面角和二面角的求法
共279题

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线面角和二面角的求法
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题型：简答题

简答题 · 13 分

19．如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

正确答案

（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，

∴.

∵，

∴.

又∵, ∴.

∵,

∴.

证法二：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

，

∴，

∴.

又∵

∴.

证法三：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

设平面的法向量，

则，解得.

令，则，

∵, ∴.

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,

，

令，得（舍去）或，

得

∴当时，.

（Ⅲ）

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

，

，.

设平面的法向量，

则，解得,

令，则.

设平面的法向量，

则.

由于，所以解得.

令，则.

设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

所以当时，二面角的平面角的余弦值为.

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

18.如图，在平行四边形中，＝2，M、N分别为线段的中点，连接交于点，将△ADM沿直线DM翻折成△，使平面⊥平面BCD，为线段的中点。

（1）求证：平面

（2）求证：BF∥平面；

（3）直线与平面所成的角.

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

17．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°。

正确答案

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．

（1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（2）当AD的长等于多少时？二面角B1－DC－C1的大小为60°．

正确答案

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知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．在直三棱柱中，，为中点，，，异面直线与所成角大小为。

（1）求三棱柱的体积；

（2）求二面角的大小。

正确答案

（1）如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

，

解得即

可得：三棱柱的体积为

（2）显然是平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，

，

所以二面角的大小为

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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