热门试卷

如图，过点作于，连接   .

平面平面，平面平面平面于

平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面

连接由22题，得为中点，又，为等边三角形，

分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则

，，

设平面的法向量为.由得

令，得.

设平面的法向量为.由得

令，得.

故二面角的余弦值是.

连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为BC的中点，∴PH∥CF，又∵CF，∴PH∥平面AFC ，连结PO，则PO∥AC，AC平面AFC，∴PO∥平面AFC

设直线AC与平面CEF所成角为.以O为原点，AB为y轴，建立空间直角坐标系，各点坐标分别为

A(0,-1,0)，C(0,1,1)，E()，E() 设平面CEF的法向量为

,

令a=2,则..

所以直线AC与平面CEF所成角的正弦值为

以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，

由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，

∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），

设平面PCD的法向量为=（x，y，z），

由，得，

取y=1，得=（1，1，1），

∴cos＜，＞==，

∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；

（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），

又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），

又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，

设1+2λ=t，t∈[1，3]，

则cos2＜，＞==≤，

当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，

因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．

又∵BP==，∴BQ=BP=．

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）证明时要找到线线垂直关系得到线面才能下手去做；（2）要注意二面角与向量夹角之间的关系。

由已知，且平面平面，

所以，即．

又因为且，

所以平面．

由已知，所以平面．

因为平面，

所以．

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）证明时要找到线线垂直关系得到线面才能下手去做；（2）要注意二面角与向量夹角之间的关系。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直．

分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．

由已知 ，

所以，．

因为为线段的中点，为线段的中点，所以．

易知平面的一个法向量．

设平面的一个法向量为，

由   得

取，得．

由图可知，二面角的大小为锐角，

所以．

所以二面角的余弦值为．

弦值；

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）证明时要找到线线垂直关系得到线面才能下手去做；（2）要注意二面角与向量夹角之间的关系。

存在点，使得直线//平面．

设，且，，则，

所以．所以．

设平面的一个法向量为，

由   得

取，得（显然不符合题意）．

又，若//平面，则．

所以．所以．

所以在线段上存在点，且时，使得直线//平面．…………14分

（Ⅰ）连接，在正方形中，，

正方体中，平面，

平面，，平面，

，即；-------------4分

正方体中，、、两两垂直，

分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

设，，，设，

，，设平面的法向量为，

则，即，令，得，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面平面，，得，，--------8分

设平面与平面所成锐二面角为，

则．-------------12分

  解（Ⅰ）依题意，以点为原点建立如图的空间直角坐标系 ，…………………1分

不妨设，

则，

为棱的中点，得，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

不妨令，得，        ………………………………………4分

所以，   …………………………………………………5分

∴直线与平面所成角的正弦值为．  …………………………6分

  （Ⅱ）向量，，

由点在棱上，设（），

∴，

∵，∴，

∴，解得，…………………10分

∴ ．        ………………………………………………………12分

在梯形ABCD中，BC⊥BD，BC⊥PD，所以BC⊥平面PBD。又BC在平面PBC内，所以PBC⊥平面PBD.