热门试卷

证明(1)连结和交于，连结， …………………………………………1分

为正方形，为中点，为中点，

，…………………………………………………………………………………3分

平面，平面

平面，…………………………………………………………………………4分

(2)平面，平面，，

为正方形，，平面，

平面，

平面，    ……………………………………………………6分

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

则，，，

平面，平面，

，

为正方形，，

由为正方形可得：，

设平面的法向量为

，

由，令，则

 ……………………………………………………………………………8分

设平面的法向量为，

，

由 ，令，则，

  ……………………………………………………………………10分

设二面角的平面角的大小为，则

二面角的平面角的余弦值为 ……………………………………12分

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.

又G为AD的中点，所以BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BG⊥平面PAD.

（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

∵PG平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以，， ， ，

设平面PCD的法向量为， 即

令，则

又平面PBG的法向量可为，

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则

∴

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.

由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.

又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.