热门试卷

（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上

所以平面，所以                  …………………1分

因为在直角梯形中，，，

，

所以，，所以是等边三角形，

所以是中点，                                  …………………2分

所以                                       …………………3分

同理可证

又

所以平面                           …………………5分

（2）在平面内过作的垂线

如图建立空间直角坐标系，

则，，               …………………6分

因为，

设平面的法向量为

因为，

所以有，即，

令则  所以                   …………………8分

             …………………10分

所以直线与平面所成角的正弦值为               …………………11分

（3）存在，事实上记点为即可                           …………………12分

因为在直角三角形中，，           …………………13分

在直角三角形中，点

所以点到四个点的距离相等                 …………………14分

（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，

所以 ∥.………………………1分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.…………………………2分

因为 ∥，

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.   ………………………3分

因为 平面，平面，，

所以 平面∥平面PAC.……………………………5分

（2）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，

所以 ，即.

因为 平面，平面，

所以 .………………………7分

因为 平面，平面，，

所以 平面.

因为 平面，

所以 平面PAC平面.……………………9分

（3）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。

因为 ，，

所以 ，.

延长交于点.

因为 ∥，

所以 .

所以 ，，，.

所以 ，.

设平面的法向量.

因为

所以 即

令，则.

所以 .  ……………………12分

同理可求平面的一个法向量n. …………………13分

所以 .

所以 .………………………14分

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA。

∵∠ACB是直径所对的圆周角，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC。

又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC。

（2）∵PA⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥PA。

∵C是弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

又O是AB的中点，∴OC⊥AB。

又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，

∴BP⊥OC。

设BP的中点为E，连接AE，则OF∥AE，AE⊥BP，

∴BP⊥OF。

∵OC∩OF=O，∴BP⊥平面CFO，又CF⊂平面CFO，∴CF⊥BP。

（3）解：由（2）知OC⊥平面PAB，∴OF⊥OC，OC⊥OB，

∴∠BOF是二面角F﹣OC﹣B的平面角。

又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°，

∴，即二面角FOOC﹣B的平面角的正弦值为。

（1）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.----------------------4分

（2）证明：由（1）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.---------------------9分

（3）解：设（），由（2）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.[

所以点是的中点.----------------------14分

：（1）

连接OC，由3AD=BD知，点D为AO的中点，

又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，

∵AC=BC，∴∠CAB=60°，

∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO。

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO=D，

∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴PA⊥CD。

（2）

过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，

∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角。

由（1）可知CD=，PD=BD=3，

∴PB=3，则DE==，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，

∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为。

（1）证明：取中点，连结，。

因为，所以，

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以，

所以平面，

所以，

（2）解：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以，

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以

，

所以 ，平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为，

（3）解：存在点，且时，有平面，

证明如下：由，，所以。

设平面的法向量为，则有

所以 取，得，

因为 ，且平面，所以平面，

即点满足时，有平面。