函数的零点与方程根的联系
共2760题

函数的零点与方程根的联系
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热门试卷

题型：简答题

简答题

某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．

（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；

（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

正确答案

（1）y＝(6＜x＜500)．S=3030－，6＜x＜500.

（2）x＝50 m，y＝60 m时，最大面积是2430 m2.

试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，列出函数关系式，注意交代定义域. 由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝，由y＞6，解得x＜500，∴y＝(6＜x＜500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，根据2a＋6＝y，得a＝－3＝－3，∴S＝(2x－10)＝3030－，6＜x＜500.（2）由基本不等式求最值，注意等于号取值情况.S＝3030－≤3030－2＝3030－2×300＝2430，当且仅当6x＝，即x＝50时等号成立，此时y＝60.

解：（1）由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝，

由y＞6，解得x＜500，∴y＝(6＜x＜500)．

S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，

根据2a＋6＝y，得a＝－3＝－3，

∴S＝(2x－10)＝3030－，6＜x＜500.

（2）S＝3030－≤3030－2＝3030－2×300＝2430，

当且仅当6x＝，即x＝50时等号成立，此时y＝60.

所以，矩形场地x＝50 m，y＝60 m时，运动场的面积最大，最大面积是2430 m2.

题型：填空题

填空题

若函数f(x)＝x2＋ax＋2b在区间(0，1)，(1，2)内各有一个零点，则的取值范围是．

正确答案

．

试题分析：由已知得或

画出不等式组表示的平面区域如图阴影区域，目标函数表示阴影区域内的点与连线的斜率值加2．

解方程组易得．如图，．

题型：填空题

填空题

设函数 f(x)=，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为______．

正确答案

∵函数 f(x)=，

当x≤0时

y=f[f（x）]-1=f（2x）-1=log22x-1=x-1

令y=f[f（x）]-1=0，x=1（舍去）

当0＜x≤1时

y=f[f（x）]-1=f（log2x）-1=2log2x-1=x-1

令y=f[f（x）]-1=0，x=1

当x＞1时

y=f[f（x）]-1=f（log2x）-1=log2（log2x）-1

令y=f[f（x）]-1=0，log2（log2x）=1

则log2x=2，x=4

故函数y=f[f（x）]-1的零点个数为2个

故答案为：2

题型：填空题

填空题

某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．

（1）；

（2）函数的零点个数是.

正确答案

(1)；(2).

试题分析：（1）由题意可得函数=，当共线，即时，；

（2）函数的零点个数，即的图象与交点的个数.

由（1），当P与B或C重合，即或时，．

结合图象可知，交点个数为，故函数零点的个数是.

题型：填空题

填空题

对实数和，定义运算“”：＝．设函数，.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是___________．

正确答案

试题分析：由题意，得，作出函数图象，如图．

由图可知，当时，函数与的图象有两个公共点，∴的取值范围是．

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