- 函数的零点与方程根的联系
- 共2760题
方程+1=3x的实数解为______.
正确答案
令t=3x(t>0)
则原方程可化为:(t-1)2=9(t>0)
∴t-1=3,t=4,即x=log34可满足条件
即方程+1=3x的实数解为 log34.
故答案为:log34.
已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0.若x1,x2为方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则|-
|的取值范围为______.
正确答案
由于 a>b>c,a+b+c=0,x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两实数根,
可得方程ax2+bx+c=0必然有一个实数根为1,且 a>0,c<0,b的符号不确定.
故有 a+2b>0,1>>-
,0≤|
|<1.
不妨设 x1 =1,由根与系数的关系可得 1+x2=-,x2=
<0,且对称轴为 x=-
∈(-
,
).
由|x12-x22|=|(x1+x2)•(x1-x2)|=||•|x1-x2|=|
|•|1-x2 |可得,
当||=0时,|x12-x22|=|
|•|1-x2 |的最小值等于0.
再由|1-x2 |=2|1-(-)|=2|(1+
)|≤2+|
|<2+1=3,
故||•|1-x2 |<1×3=3.
故|x12-x22|的取值范围为[0,3),
故答案为:[0,3).
已知函数,其中m是实数
(1)若函数有零点,求m的取值范围;(7分)
(2)设不等式的解集为A,若
,求m的取值范围。(7分)
正确答案
(1)-1≤m≤;(2)m≥
.
本试题主要考查了函数零点的概念的运用,以及一元二次不等式的求解问题。
解:(1)当m=0时,f(x)=-x,零点为x=0, ………………2分
当m¹0时,f(x)为二次函数,由D≥0得(1-m)2-4m2≥0 ………………4分
即3m2+2m-1≤0解得-1≤m≤且m¹0 ………………6分
综上所述可知函数有零点,则-1≤m≤。 ………………7分
(2)由得
………………8分
当m=0时,解得x>0,显然AÍ(-¥,3)不成立, ……………9分
当m>0时,不等式可化为,解得
,若A
Í(-¥,3)则
,即m≥
, ……………11分
当m>0时,不等式可化为,解得
,显然A
Í(-¥,3)不成立. ……………13分
综上所述,有m≥。 ……………14分
已知函数,且定义域为(0,2).
(1)求关于x的方程+3在(0,2)上的解;
(2)若是定义域(0,2)上的单调函数,求实数
的取值范围;
(3)若关于x的方程在(0,2)上有两个不同的解
,求k的取值范围。
正确答案
(1),
+3即
当时,
,此时该方程无解………………1分
当时,
,原方程等价于:
此时该方程的解为
.
综上可知:方程+3在(0,2)上的解为
. ………………3分
(2),
………………4分
, ……………… 5分
可得:若是单调递增函数,则
………………6分
若是单调递减函数,则
,……………… 7分
综上可知:是单调函数时
的取值范围为
.………8分
(2)[解法一]:当时,
,①
当时,
,②
若k=0则①无解,②的解为故
不合题意 ……………9分
若则①的解为
,
(Ⅰ)当时,
时,方程②中
故方程②中一根在(1,2)内另一根不在(1,2)内, ……………… 10分
设,而
则
又
,
故,
略
若直线y=2与曲线y=x2-|x|+a有两个交点,则a的取值范围是______.
正确答案
如图,在同一直角坐标系内画出直线y=2与曲线y=x2-|x|+a,
观图可知,a的取值必须满足{a|a<2或a=},
故答案为{a|a<2或a=}
扫码查看完整答案与解析