函数的零点与方程根的联系
共2760题

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函数的零点与方程根的联系
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题型：填空题

填空题

方程－31gx+4=0的解集是

正确答案

设，原方程化为y－y2+2=0，

解得 y=－1，y=2．因为，所以将y=－1舍去．

由=2，得lgx=2，

所以x=100．经检验，x=100为原方程的解

题型：简答题

简答题

求证：

（I）；

（Ⅱ）函数在区间（0，2）内至少有一个零点；

（III）设是函数的两个零点，则

正确答案

见解析

解：（I）由得 ---------------⑴

由得，将(1)代入得:

,两式相加得:,即.

,故;

（Ⅱ）由⑴有,

, ,即,

函数在区间（0，2）内至少有一个零点.

题型：简答题

简答题

(12分)已知函数在区间[-1，1]上与x轴有且只有一个交点，求：实数的取值范围。

正确答案

(1)当时，，其零点为；

　　　　　 (2)当时，二次函数只有一个零点且在时，满足条件，

　　　　　　即：无解；

　　　　　 (3)当，二次函数有两个零点，一个在[-1，1]时，满足条件，

　　　　　　即：或；

　　　　　 (4)当-1是零点时，，此时，零点是：，，不合题意，

　　　　　　当1是零点时，，此时，零点是1，0，不合题意；

　　　　　　综上所述：是满足题意。

题型：填空题

填空题

若函数f(x)= (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .

正确答案

∵函数f(x)= (且)有两个零点，∴方程有两个不相等的实数根,即两个函数与的图象有两个不同的交点.当时,两个函数的图象有且仅有一个交点,不合题意;当时,两个函数的图象有两个交点,满足题意.

【考点定位】本小题考查函数与方程,体现了函数与方程的相互转化的数学思想.

题型：填空题

填空题

设方程x3-3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是______．

正确答案

设f（x）=x3-3x，

对函数求导，f′（x）=3x2-3=0，x=-1，1．

x＜-1时，f（x）单调增，-1＜x＜1时，单调减，x＞1时，单调增，f（-1）=2，f（1）=-2，

要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点，

∴-2＜k＜2

故答案为：（-2，2）．

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