- 函数的零点与方程根的联系
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(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足条件：
（1）求
（2）讨论 
正确答案
(1) f（x）=x2－x+1
(2)
(3)1.当a＜
2.当a=
3.当a=1时方程有三个解
4.当
(1)利用待定系数法因为f(0)=1,所以设
根据
(2)在（1）的基础上，因为y=f(|x|)是偶函数，所以可先画出x>0时，y=f(|x|)的图像，再根据对称性画出y轴左侧的图像即可.然后再从图像可以确定当直线y=a与y=f(|x|)的图像交点情况不同时，对应的a的取值范围.
(1)求出f(x)给4分 f（x）=x2－x+1
(2)画出图像再给4分
(3)利用图像分类讨论再给4分
其它解法自已控制.
1.当a＜
2.当a=
3.当a=1时方程有三个解
4.当
关于x的方程|x2-2x|+m+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ______．
正确答案
关于x的方程|x2-2x|+m+1=0有两个不相等的实数根，
就是函数y=|x2-2x|与y=-m-1有两个不相同的交点，由图得，当y=-m-1 与x轴重合或在y=1的上方是符合
即-m-1=0 或-m-1＞1解得 m=-1 或m＜-2
故答案为：m=-1 或m＜-2．
设f(x)是定义在区间
（1）求f(x)在
（2）对自然数k,求集合
正确答案
（1）
解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数，∴当
又∵当
即对
（2）当
上述方程在区间
由（1）知a>0，或a<-8k.
当a>0时：因2+a>2-a，故从（2），（3）
可得
当a＜-8k时：
易知
综上所述，a应满足
函数y=ax+logax（a＞0，a≠1）零点的个数为______．
正确答案
∵当a＞1时，函数y=ax+logax（a＞0，a≠1）是增函数，当当a＜1时，函数y=ax+logax（a＞0，a≠1）是减函数，
∴函数y=ax+logax（a＞0，a≠1）是一个单调函数
故此函数至多有一个零点
又当a＞1时，自变量接近0函数值接近负无穷大，当自变量接近于正无穷大时，函数值也趋向于正无穷大
当a＜时，自变量接近0函数值接近正无穷大，当自变量接近于正无穷大时，函数值趋向于负无穷大
故此函数必有一个零点
故答案为1
设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-
③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2x．
其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号）
正确答案
①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分别做出函数y=x-1和y=sinx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即条件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵f(x)=x+tanx，x∈(-
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=tanx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log3x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=log3x的图象知，二者有两个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f′(x)=1+
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2x．∴由f（x）-1=0，得x+2x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=2x的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+2xln2，∴条件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案为③．
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