热门试卷

（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-，即函数只有一个零点

当m≠0时，△=9（m-4）2+36m=（m-2）2+12＞0

∴函数f（x）的零点的个数为2

故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2

（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，则m≠0，

x1+x2=，x1•x2=

∴d=|x1-x2|===12≥12×=  （m=8时取等号）

∴d=|x1-x2|的最小值为；

（3）若m=1，则f（x）=x2-9x-9

∴不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，即x2-9x-9＞a对x∈[0，2]恒成立

只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a

∵f（x）=x2-9x-9=（x-）2-≥f（2）=-23

∴a＜-23

证明：令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]=ax2+bx+c-[f（x1）+f（x2），

因为△=b2-4a[c-]=b2-4ac+2a[f（x1）+f（x2）]=b2-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，

又x1＜x2，所以△＞0，

所以g（x）=0有两个不等实根，即方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根；

而g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=-，g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=，

∴g（x1）•g（x2）=-[f（x2）-f（x1）]2＜0．

再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，即 f（x）-=0在区间（x1，x2） 内必有实数根．

综上可得，方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x1，x2）．

把等式看成关于a，b的直线方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，

由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即≥，

所以a2+b2≥()2=≥，

因为x-2+在x∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-，b=-时取等号，

故a2+b2的最小值为．

（1）∵f()-=a()2+b()+c-=-(x1-x2)2＜0，4分

又∵x1≠x2，∴必有a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞）． 2分

（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0． 由 a＞0，f（1）=a+2＞0

①当0＜a＜6时，总有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，

故0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点； 2分

②当a＞6时，，即a＞6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点；2分

③当a=6时，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点．

综上：0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点；a≥6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点． 2分

（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+)2-2-，

显然f（0）=-2，对称轴x=-＜0．

①当-2-＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-，0)，且f[M（a）]=-4．

令ax2+4x-2=-4，解得x=，

此时M（a）取较大的根，即M(a)==，

∵0＜a＜2，∴M(a)=＞-1． 2分

②当-2-≥-4，即a≥2时，M(a)＜-，且f[M（a）]=4．

令ax2+4x-2=4，解得x=，

此时M（a）取较小的根，即M(a)==，

∵a≥2，∴M(a)=≥-3． 当且仅当a=2时，取等号． 3分

∵-3＜-1，∴当a=2时，M（a）取得最小值-3． 1分．