- 函数的零点与方程根的联系
- 共2760题
关于x的方程a2x+（1+lgm）ax+1=0（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是 ______．
正确答案
令t=ax（t＞0），则方程转化为t2+（1+lgm）t+1=0在（0，+∞）上有解．
所以
故答案为：（0，10-3]
已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．
正确答案
（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=
1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x2-ax+1，对称轴x=
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）min=f（1）=2-a；
2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）min=f（a）=1；
3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x2+ax+1，对称轴x=
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函数f（x）min=f（2）=2a-3；
（3）因为a＞0，所以a＞
所以y1=x2-ax+1在[a，+∞）上递增；y2=-x2+ax+1在(-∞，
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f(
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．
已知函数f（x）=x2+px+q，其中x，p，q∈R，集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，若A={-1，3}，则B=______．
正确答案
∵A={x|f（x）=x}={x|x2+px+q=x}={x|x2+（p-1）x+q=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x2+（p-1）x+q=0的根
∴
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x2-x-3）=x}
={x|（x2-x-3）2-（x2-x-3）-3=x}
化简可得，（x2-x-3）2-x2=0
∴（x2-3）（x2-2x-3）=0
∴x=
∴B={
故答案为：{
二次函数y=f（x）图象交y轴于点（0，-6），图象顶点坐标为(-
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记F(x)=
（3）如直线y=2x+t与曲线y=F（x）交于三个不同的点，试确定实数t的范围．
正确答案
（1）设f(x)=a(x+
1
2
)2-
∵其图象交y轴于点（0，-6），∴a=1，
∴y=x2+x-6 （4分）
（2∵y=x2+x-6= 
∴F(x)=
（3）仅需y=2x+t与y=-x2-x+6在-3＜x＜2上有两个交点．
y=2x+t代入y=-x2-x+6，得x2+3x+（t-6）=0
设φ（x）=x2+3x+（t-6），满足上述要求，则
∴6＜t＜
另数形结合，y=2x+t与y=-x2-x+6（-3＜x＜2）相切得y=
y=2x+t过（-3，0），得t=6 （14分）
∴当6＜t＜
给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数
②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3（x-1）2的图像可由y=3x2的图像向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图像连续的函数，且f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是（ ）。（填上所有正确命题的序号）
正确答案
③⑤
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