- 函数的零点与方程根的联系
- 共2760题
关于x的方程3x2-5x+a=0两根分别在（-2，0）与（1，3）内，则实数a的取值范围为______．
正确答案
若关于x的方程3x2-5x+a=0两根分别在（-2，0）与（1，3）内，
则函数f（x）=3x2-5x+a在（-2，0）与（1，3）内各有一个零点
则
即
解得-2＜a＜0
故答案为：（-2，0）
已知函数f（x）=loga（2-x）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点．
正确答案
（1）要使函数有意义：则有2-x＞0，解得：x＜2，
所以函数的定义域为：（-∞，2）；
（2）令f（x）=loga（2-x）=0，∴2-x=1，即x=1，
∵1∈（-∞，2），所以函数f（x）的零点为1．
关于x的方程5x=
正确答案
因为关于x的方程5x=
即0＜
⇒-3＜a＜1
故答案为：-3＜a＜1．
（理）若关于x的方程2x-3a+1=0在（-∞，1]上有解，则实数a的取值范围是______．
正确答案
方程可变形为2x=3a-1，由于方程2x-3a+1=0在（-∞，1]上有解，
所以0＜3a-1≤2，即实数a的取值范围是(
故答案为(
设函数f（x）=ax-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）f（x）=ex-x，则f′（x）=ex-1…（2分）
当f′（x）＞0时，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上单调递减．…（2分）
所以x=0是极小值点，f极小值=f（0）=1…（2分）
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，…（2分）
要使方程ax=x在（0，+∞）有2解，则有lna=
设g(x)=
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且0＜g(x)＜
当0＜x≤e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且g(x)≤
根据图象可知0＜lna＜
∴1＜a＜e1e…（2分）
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