- 函数的零点与方程根的联系
- 共2760题
设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程log(cx+dx)x=-1在什么情况下有解，有解时求出它的解．
正确答案
原方程有解的充要条件是：
由条件（4）知x(cx+
又由x(cx+
即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及x(cx+
因此，原条件可简化为以下的等价条件组：
由条件（1）（6）知
①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；
②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1、
再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1-d
从而，当c＞0，d＜1且c≠1-d时，
或者当c＜0，d＞1且c≠1-d时，
原方程有解，它的解是x=
设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（-|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=______．
正确答案
∵f（x）=log2（-|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（-|x|+4）∈[1，4]
∴-|x|∈[-3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若关于x的方程2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解
则m=-2
又由函数f（x）=log2（-|x|+4）的定义域是[m，n]，
结合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1
若常数a使得关于x的方程lg（x2+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一解．则a的取值范围是______．
正确答案
原方程lg（x2+20x）-lg（8x-6a-3）=0等价于
记F（x）=-x2-12x-3=-（x+6）2+33
当x∈（-∞，-20）时，F（x）≤F（20）=-163；当x∈（0，+∞））时，F（x）≤F（0）=-3
故当x∈（0，8）时，F（x）∈（-163，-3），且函数是单值对应
所以6a∈（-163，-3）时，原方程有唯一解，得a∈(-
故答案为：(-
方程(log5x)2+2log25x-2=0的解集是______．
正确答案
因为(log5x)2+2log25x-2=0，所以(log5x)2+log5x-2=0，
所以log5x=-2或log5x=1，
解log5x=-2得x=
解log5x=1得x=5．
所以方程的解集为：{
故答案为：{
若α、β是函数f（x）=lg2x-lgx2-2的两个零点，则logαβ+logβα的值为______．
正确答案
解∵；α、β是函数f（x）=lg2x-lgx2-2的两个零点，
∴lg2α-lgα2-2=0 ①
lg2β-lgβ2-2=0 ②
两式相减（lgα+lgβ）（lgα-lgβ）-2（lgα-lgβ）=0
（lgα+lgβ-2）（lgα-lgβ）=0
∴lgα+lgβ-2=0
即lgα+lgβ=2，
由①②可得（lg•lgβ）2=4（lg•lgβ）+4（lg+lgβ）+4，
解得lg•lgβ=6（舍）或-2，
∴logαβ+logβα=
=-4，
故答案为-4．
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