热门试卷

(1) (2)

试题分析：(1),

即 ,                                                ……3分

因 当且仅当时等号成立                           ……4分

即，所以                                                      ……7分

(2)当时，，

 且 ，

即满足不等式组的点构成图中的阴影部分，                          ……10分

由图可知，经过与的直线的斜率的取值范围是，

所以的取值范围是.                                  ……15分

考查学生综合运用知识解决问题的能力.

点评：利用线性规划知识可以解决非线性目标函数的最值问题，一般要转化成求两点间连线的斜率、两点

间的距离等.

（1）函数的定义域为，设、是函数图像上的两点, 其中且,则有，因此函数图像关于点对称（2）（3）

试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,

则有 

因此函数图像关于点对称                           4分

（2）由（1）知当时，

①     ②

①+②得                         8分

（3）当时，

当时，，

当时， =

∴ （）

又对一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值

∴，即

所以的取值范围是                                12分

点评：证明函数关于点对称只需证明，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解

证明见解析

设，则．

由，得，即，

．

（I）当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；

当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；

当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．

（II）-a3-a．（III）存在实数m满足条件，此时m∈[]．

试题分析：（I）求导函数，对参数a进行讨论，利用导数的正负，确定函数的单调区间；

（II）确定f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a3，要使f（x）有三个不同的零点，则f(0)＞0，f(a)＜0，从而得证；

（III）先确定|x1-x2|=，并求得其最小值，假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤（）min，即m2+tm+1≤4，即m2+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，从而可求m的范围．

解：（I）∵ ，

当a=0时，≥0，于是在R上单调递增；

当a>0时，x∈(0，a)，，得在(0，a)上单调递减；

x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，，得在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增；

当a<0时，，，得在(0，a)上单调递减；

x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，得在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增．

综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；

当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；

当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．……3分

（II）当a>0时，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数；则f(x)的极大值为f(0)=a+b，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a3．

要使f(x)有三个不同的零点，则  即可得-a3-a．…8分

（III）由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b，得x3-ax2-3x=0即x(x2-ax-3)=0，

由题意得x2-ax-3=0有两非零实数根x1，x2，则x1+x2=a，x1x2=-3，

即.∵ f (x)在[1，2]上是减函数，

∴ ≤0在[1，2]上恒成立，

其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴ ≥4．

假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤()min，即m2+tm+1≤4，即m2+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，

∴     解得．

∴ 存在实数m满足条件，此时m∈[]． …………………14分

点评：解决该试题的关键是利用导数的正负对于函数单调性的影响得到函数单调区间，进而分析极值问题，以及构造函数的思想求证函数的最值，解决恒成立问题的运用。