- 指数函数的实际应用
- 共1991题
某轮船在海面上匀速行驶，该轮船每小时使用燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的平方成正比．当速度是10海里/时它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，如果甲、乙两地相距100海里，
（1）求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的关系式；
（2）问船速为多少时，总费用最低？并求出最低费用是多少．
正确答案
（1）由已知中轮船每小时使用燃料的费用（单位：元）和轮船速度（单位：海里/时）的平方成正比
设船速为x，燃料的费用t=Kx2，
由速度是10海里/时它的燃料费用是每小时30元
则K=0.3，即t=0.3x2，
双由航行时间为
故轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的关系式为y=
（2）由（1）中总费用与船速的关系式为y=30x+
当且仅当30x=
即船速为40海里/时时，总费用取最低值1200元
某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P=
（1）y关于x的函数表达式；
（2）总利润的最大值．
正确答案
（1）根据题意，得y=
x∈[0，5]． …（8分）
（注：定义域写成（0，5）不扣分）
（2）令t=
y=-
因为2∈[0，
答：总利润的最大值是
设f（x）=
正确答案
∵f（m）=
∴
而f（-m）=
甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x） 及任意的x≥0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x） 万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x） 万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险．
（1）请解释f（0）、g（0）的实际意义；
（2）当f（x）=x+4，g(x)=
正确答案
（1）f（0）表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少要投入f（0）万元的宣传费；g（0）表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g（0）万元的宣传费．
（2）将甲公司投入的宣传费用x来表示，乙公司投入的宣传费用y来表示，依题意，
当y≥f（x）=x+4时，乙公司无失败的风险，当x≥g(y)=
由
故在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入12万元，甲公司至少投入16万元．
函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）证明：令x=am，y=an，则f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x1，x2∈R+，x1＞x2，可令，x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0）
则f（x1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＞0
即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a2），
即
依题意，有a2≥
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