- 指数函数的实际应用
- 共1991题
某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工m人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10%，那么公司裁员人数应在什么范围内？
（2）若m=20k，且15＜k＜50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
正确答案
设该公司应裁员x人，x∈N*，所获得利润为y．
（1）m=400时，若0≤x≤80
公司所获利润y=（400-x）（100+x）-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么（400-x）（100+x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x2-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．
若80≤x≤100公司所获利润y=（400-x）（100+2x）-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么（400-x）（100+2x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x2-340x+4800≤0它在80≤x≤100时成立
所以40≤x≤100时公司利润至少增加10%．
（2）设公司裁员x人，所获得利润为y千元．则
y=
=
=
设f1（x）=-（x-（10k-60））2+2000k-5600+（10k-60）2，0≤x≤4k，
因为10k-60＞150-60=90＞4k．所以当x=4k时，函数f1（x）取最大值为：
f1（x）max=64k2+80k-5600．
设f2（x）=-2（x-（10k-30））2+2000k-5600+2（10k-30）2，4k＜x≤5k，
因为10k-30＞150-30=120＞5k．所以当x=5k时，函数f2（x）取最大值为：
f1（x）max=150k2+50k-5600．f2（x）-f1（x）=86k2-30k＞0．
所以当x=5k时公司可获得最大利润．
“长为L （米）的大型机器零件，在通过传送带的流水线时，为安全起见，零件之间的距离不得小于 kLv2（米）．其中v （米/时）是流水线的流速，k为比例系数．现经测定，当流速为60 （米/时） 时，零件之间的安全距离为1.44L．
（1）根据给出数据求出比例系数k；
（2）写出流水线上的流量y 关于流水线流速v 的函数关系式； （流量是单位时间内通过的零件数，即 
（3）应该规定多大的流速，才能使同一流水线上的零件流量最大？最大流量是多少？
正确答案
（1）由题意d=kLv2，将流速为60（米/时），安全距离为1.44L代入，可求得1.44L=kL×（60）2，
∴k=
（2）由流量=
（3）由题意y=
已知集合A={x|9x-10•3x+9≤0}，求函数y=(（x∈A）的值域．
正确答案
由9x-10•3x+9≤0，得（3x-1）（3x-9）≤0，所以1≤3x≤9，可得0≤x≤2
设(
所以y=(
1
4
)x-1-4•(
1
2
)x +2=g(t)，
g(t)=4(t-
当t=
所以函数y=(（x∈A）的值域为[1，2]
若a2x+
正确答案
由a2x+
令ax=t，则0＜t≤
借助二次函数图象知y∈[3，4），
故答案为[3，4）．
已知函数y=
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2x+2+3•4x（a＞-3）的最小值．
正确答案
（1）由题意得，
∴函数的定义域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2x+2+3•4x）=4a•2x+3•22x=3(2x+
2
3
a) 2-
由（1）知，x∈[-1，1），设t=2x，则t∈[
函数变为g（t）=3(t+
2
3
a)2-
①若-
∴f（x）的最小值是g（
1
2
+
2
3
a) 2-
②若
综上，当a≥-
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