热门试卷

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，

则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，

由①②解得g(x)=，h(x)=．

∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．

∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)．

∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，

∴g(x)===2x+，h(x)===2x-．

由2x-=t，则t∈R，

平方得t2=(2x-)2=22x+-2，∴g(2x)=22x+=t2+2，

∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．

（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴≤t≤．

∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[，]恒成立，

∴m≥-对于t∈[，]恒成立，

令φ(t)=-，则φ′(t)=(-1)，

∵t∈[，]，∴φ′(t)=(-1)＜0，故φ(t)=-在t∈[，]上单调递减，

∴φ(t)max=φ()=-，∴m≥-为m的取值范围．

（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1，

若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，

方程①的判别式△=4m2-4（m2-m+1）=4（m-1）．

1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．

2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，

方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±，

即t2+2mt+m2+1±=0②，

只要方程②无实根，故其判别式△2=4m2-4(m2+1±)＜0，

即得-1-＜0③，且-1+＜0④，

∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．

综上，m的取值范围为m＜2．

（1）f（x）为奇函数．∵f（x）的定义域为R，对∀x∈R，

有f(-x)===-=-f(x)，∴f（x）为奇函数．…（4分）

（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．∵对-∞＜x1＜x2＜+∞，2x1-2x2＜0，f(x)==1-，

故 f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=-=＜0，

∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．…（8分）

（3）∵f(3)=，又∵f(x)＞，即为f（x）＞f（3）．…（10分）

又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，

∴不等式f(x)＞的解集为{x|x＞3}．…（13分）

（1）由题意，f（0）=0，即=0，解得a=1；

（2）f（x）＜，即＜，∵2x+1＞0，∴2x＜4，∴x＜2，∴不等式的解集为（-∞，2）．