- 指数函数的实际应用
- 共1991题
若a＞1，0＜b＜1，且alogb(2x-1)＞1，则实数x的范围是______．
正确答案
∵a＞1，
∴ax是增函数，
∵a0=1，
∴alogb(2x-1)＞1=a0，
∴logb（2x-1）＞0．
∵0＜b＜1，
∴logbx是减函数，
∵logb1=0，
∴logb（2x-1）＞logb1，
∴2x-1＜1，
∴x＜1．
∵2x-1＞0，x＞
∴
故答案为：（
已知函数f（x）=
（1）写出f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）值域．
正确答案
（1）由于 5x＞0 恒成立，故函数函数f（x）=
（2）由于f（-x）=
（3）f（x）=
即-2＜-
对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；④f(
当f（x）=2-x时，上述结论中正确结论的序号是______写出全部正确结论的序号）
正确答案
例如f（x）=2-x
∴对于①，f（x1+x2）=2-(x1+x2) ，f（x1）f（x2）=2-x1•2-x2=2-(x1+x2)，故①对
对于②，f（x1•x2）=2-(x1•x2)≠2-x1+2-x2=f（x1）+f（x2）；
故②错
对于③，∵f(x)=2-x=(
1
2
)x为减函数，所以当x1＞x2时，有f（x1）＜f（x2），有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0
对．
对于④，f(
故答案为①③④
求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．
正确答案
根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，ymax=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2
则
3(x22 -x21) +2(x1 -x2)=3(x1-x2) (2-x1-x2)
∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1]
∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0
∴3(x1-x2) (x1+x2+2)＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．
已知函数f(x)=
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．
正确答案
（1）令分母2x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为 f(x)=1+
由于2x-1＞-1，故 
故 
∴f(x)=
（2）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下：
由于 f(x)=
故 f(x)=
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