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简答题

某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.

(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到1万元).

正确答案

(1)投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,

由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,(k1,k2≠0;x≥0)

由图知f(1)=,∴k1=

又g(4)=,∴k2=         

从而f(x)=x,g(x)=(x≥0)

(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业的利润为y万元

y=f(x)+g(10-x)=x+,(0≤x≤10),

=t,∴y=+t=-(t-

5

2

)2+(0≤t≤

当t=,ymax≈4,此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元.

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简答题

(本小题满分14分) 

已知函数,其中,其中

(I)求函数的零点;

(II)讨论在区间上的单调性;

(III)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。

正确答案

(I)-a.

(II)在区间是增函数,

在区间是减函数。

(III)

(I)解,得所以函数的零点为-a.………………2分

(II)函数在区域(-∞,0)上有意义,,…………5分

因为                                                      …………7分

x在定义域上变化时,的变化情况如下:

所以在区间是增函数,                   …………8分

在区间是减函数。                               …………9分

(III)在区间存在最小值                     …………10分

证明:由(I)知-a是函数的零点,

因为

所以。                                                                        …………11分

知,当时,。                       …………12分

又函数在上是减函数,

所以函数在区间上的最小值为

。                                                                            …………13分

所以函数在区间上的最小值为

计算得。                                …………14分

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某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用该药,服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.其中OA是线段,曲线段AB是函数y=k•at(t≥1,a>0,k,a是常数)的图象.

(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式;

(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效,假若某病人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟是当天几点钟?

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后在过3h,该病人每毫升血液中含药量为多少μg?(精确到0.1μg)

正确答案

(1)当0≤t<1时,y=8t;

当t≥1时,把A(1,8)、B(7,1)代入y=kat,得,解得

故y=

(2)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药,则,解得t=5,即第一次服药后5h后服第二次药,也即上午11:00服药;

(3)第二次服药3h后,每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:y1=8(

2

2

)8=μg

含第二次服药量为:y2=8(

2

2

)3=4μg

所以此时两次服药剩余的量为+4≈4.7μg

故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg

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某上市股票在30天内每股的交易价p(元)与时间t(天)组成有序数对(t,p),点(t,p)落在如下图①中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表①所示,已知日交易量Q(万股)与时间t(天)满足一次函数关系.

(1)根据提供的图象和表格,写出该种股票每股交易价格p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式以及日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式.

(2)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值为多少?

正确答案

(1)设Q=at+b(a,b为常数),将(2,38)与(8,32)的坐标代入,

解得a=-1,b=40.

日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N*

(2)由已知中图象易得:

该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式

P=

结合(1)中日交易量Q(万股)与时间t(天)的解析式可得

y=

即 y=

当0<t≤20时,当t=15时,ymax=125;

当 20<t≤30时,y=t2-12t+320在(20,30]上是减函数,y<y(20)<y(15)=125.

所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.

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某厂家2008年拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量m万件(即该厂的年产量)与促销费用x万元(x≥0)满足m=3-.已知2008年生产该产品m万件的成本C=16m+8万元,厂家将每件产品的销售价定为每件产品成本的1.5倍.

(Ⅰ)试将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数;

(Ⅱ)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

(利润=销售额-成本-促销费用)

正确答案

(Ⅰ)依题意,得:利润函数y=(1.5-1)C-x=0.5(16m+8)-x

=8m+4-x=8(3-)+4-x=28--x(其中x≥0);

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:y=29-(+x+1)≤29-2=21

当且仅当=x+1,即x=3时取等号,

所以,厂家2008年的促销费用投入3万元时,厂家的最大利润为21万元.

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