- 指数函数的实际应用
- 共1991题
甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为
（Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小．
正确答案
（1）解不等式2x+2•(
1
2
)4-2x＞
（2）已知a=10b（b＞0），求[lg（ab）]2-lga2lgb2的值．
正确答案
（1）∵2x+2•(
∴2x+2•22x-4＞212
即23x-2＞212…（3分）
得x＞
所以原不等式的解集为{x|x＞
（2）[lg（ab）]2-lga2lgb2=（lga+lgb）2-4lgalgb（lga）2-2lgalgb+（lgb）2…（8分）
=（lga-lgb）2=lg(
已知函数f（x）=a+bx-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f-1（x）的表达式．
正确答案
∵函数f（x）=a+bx-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），
∴a+b0=3，a=3-b0=3-1=2．
又函数f-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），
∴f-1（4+a）=2．
∴f（2）=4+a=4+2=6，
即2+b2-1=6．
∴b=4．
故f（x）=2+4x-1．
再求其反函数即得
f-1（x）=log4（x-2）+1（x＞2）．
答：其反函数为f-1（x）=log4（x-2）+1（x＞2）．
某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件．现在的把定价降低x个百分点（即x%）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍．
（Ⅰ）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；
（Ⅱ）求销售额最大时x的值（结果可用含n的式子表示）；
（Ⅲ）当n=2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）依题意得
a（1-x%）•m（1+y%）=kam，
将y=nx代入，代简得：
k=-
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=
且销售额最大为
（Ⅲ）当n=2时，k=-
要使销售额有所增加，即k＞1．所以
-
故x∈（0，50）
这就是说，当销售额有所增加时，降价幅度的范围需要在原价的一半以内．
设y1=a3x+5，y2=a-2x，（其中a＞0且a≠1），确定x为何值时，有：
（1）y1=y2
（2）y1＞y2．
正确答案
（1）由y1=y2得a3x+5=a-2x，
3x+5=-2x，解得x=-1，
（2）由y1＞y2得，a3x+5＞a-2x
当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增，
∴3x+5＞-2x，解得x＞-1
当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减，
∴3x+5＜-2x，解得x＜-1
综上：当a＞1时 x＞-1；当0＜a＜1时 x＜-1．
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