导数与积分
共1403题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知，函数。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求在区间上的最小值。

正确答案

（1）当时，，，

所以，因此。

即曲线在点处的切线斜率为。，

所以曲线在点处的切线方程为，

即。

（2）因为，所以。

令，得。

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值。

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值。

③若，则当时，，函数在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值。

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为。

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值直线的一般式方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

16. 已知函数，其图象在点(1,)处的切线方程为,则它在点处的切线方程为（）

正确答案

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知识点

导数的几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.以下正确命题的序号为__________

①命题“存在”的否定是：“不存在”；

②函数的零点在区间内；

③若函数满足且，则=1023；

④函数切线斜率的最大值是2.

正确答案

②③

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知识点

命题的否定命题的真假判断与应用函数零点的判断和求解导数的几何意义

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知函数.

（1）求函数的单调区间

（2）若,求证：直线不可能是函数图像的切线。

正确答案

（1）

当时，

递增区间为（-1，1），递减区间为

当时，递增区间为，递减区间为（-1，1）

（2）

假设直线是函数图像的切线．设切点为

则

而从而此方程无解

∴直线不可能是函数图像的切线．

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

18. 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。

（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，并求选出的2名教师来自同一学校的概率。

正确答案

（I）设“从甲校和乙校报名的的教师中任选一名，选出的2名教师性别相同”为事件A，则；

（II）设“从报名的6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校”为事件B，则。

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知识点

导数的几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．函数在点处的切线方程为__________．

正确答案

y=4x-4

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知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

10．若曲线在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则＝_______。

正确答案

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知识点

导数的几何意义恒过定点的直线

题型：单选题

单选题 · 5 分

2．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（）

正确答案

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知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知函数.

（1）若，求曲线在处切线的斜率；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

正确答案

（1）由已知，

故曲线在处切线的斜率为.

（2）.

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）由已知，转化为.

由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.)

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，

所以，

解得.

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知是首项为，公差为的等差数列。

(1)求通项；

(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

正确答案

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知识点

导数的几何意义

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